四元数 #

四元数（quaternion）是另一种表示方位的方式。四元数在图形学中比较神秘，没有欧拉角简单通俗易懂。但是四元数能解决万向节锁的问题，所以本篇文章会介绍四元数这一方位表示法。

用欧拉角表示方位

四元数记法 #

四元数，从字面上看就是由四个数字组成，一个标量和一个 3D 的向量。通常将标量记为 $w$ ，向量记为 $v$ 或者分开的 $x,y,z$ 。

[w, v] \\ [w, (x,y,z)]

复数 #

复数的基本概念 #

四元数的产生与复数有很大的关系，所以这里先复习以下复数的概念。

复数对 $(a,b)$ 定义了数 $a+bi$ ， $i$ 是所谓的虚数，满足 $i^2 = -1$ ， $a$ 为实部， $b$ 为虚部。任意实数 $k$ 都能表示成复数 $(k,0) = k + 0i$ 。

复数支持相加、相减、相乘的运算。

\begin{aligned} (a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i \\ (a+bi)-(c+di)&=(a-c)+(b-d)i \\ (a+bi)(c+di)&=ac+adi+bci+bdi^2 \\ &=ac+(ad+bc)i + bd(-1) \\ &=(ac-bd)+(ad+bc)i \end{aligned}

通过将虚部变负，还能计算复数的共轭，复数 $p$ 的共轭复数用 $p^*$ 表示。

p=a+bi \\ p^*=a-bi

复数的模的记法和解释与实数的绝对值类似。

\begin{aligned} \|p\|&=\sqrt{pp^*} \\ \|a+bi\|&=\sqrt{(a+bi)(a-bi)} \\ &=\sqrt{a^2+b^2} \end{aligned}

复数的几何意义 #

可以将复数的实部和虚部看成是平面上一个点的 x 和 y 坐标，可以认为这个平面有两个轴，实轴和虚轴，这样我们可以将复数 $(x,y)$ 解释为 2D 的向量。

我们可以用复数来求向量的旋转，假设向量 (x,y) 用复数表示为 $x + yi$ ，将向量绕原点旋转 $\theta$ 角。这里引入第二个辅助复数 $q=(\cos{\theta},\sin{\theta})$ ，旋转后的 $p^{\prime}$ 计算如下：

\begin{aligned} p&=x+yi \\ q&=\cos{\theta} + \sin{\theta}i \\ p^{\prime}&=pq \\ &=(x+yi)(\cos{\theta} + i\sin{\theta}) \\ &=(x\cos{\theta} - y\sin{\theta}) + (x\sin{\theta} + y\cos{\theta})i \end{aligned}

最后的结果和利用二维旋转矩阵乘法一致。

四元数系统本质就是复数系统从 2D 到 3D 的扩展，它使用了三个虚部， $i,j,k$ 。在左手坐标系中 $i,j,k$ 关系如下。

i^2=j^2=k^2=-1 \\ ij=k, ji=-k \\ jk=i,kj=-i \\ ki=j,ik=-j

一个四元数定义 $[w, (x,y,z)]$ 定义了复数 $w + xi + yj + zk$ 。

四元数表示方位 #

3D 中任意的角位移都能表示为绕单一轴的单一旋转，即用一个向量 $n$ 和绕该向量旋转的 $\theta$ 角度表示 $(n,\theta)$ ，这种记法称为轴角对方式。

四元数就是使用了轴角对方式，不过 $n$ 和 $\theta$ 不是直接存储在四元数的四个数中的，下面列出四元数中的数和 $n, \theta$ 的关系。

\begin{aligned} q&=[\cos{(\theta/2)}, \sin{(\theta/2)}n] \\ &=[\cos{(\theta/2)}, (\sin{(\theta/2)}n_x, \sin{(\theta/2)}n_y, \sin{(\theta/2)}n_z)] \end{aligned}

四元数运算 #

负四元数 #

将四个数都变成负数得到负四元数。

-q=-[w, (x,y,z)] = [-w, (-x,-y,-z)]

$-q$ 与 $q$ 表示的角位移完全相同，实际上将 $\theta$ 加上 $360^\circ$ 之后，不会改变 $q$ 的角位移，但是四个分量都变成负值了，3D 中任意角位移都有两种不同的四元数表示方法。

单位四元数 #

几何上存在两个单位四元数，它们代表没有角位移： $[1,\mathbf0]$ 和 $[-1,\mathbf0]$ 。当 $\theta$ 是 $360^\circ$ 的倍数时，表示没有角位移，所以 $\mathbf{n}$ 的值不重要。

数学上只有一个单位四元数 $[1,0]$ ，用任意四元数乘以单位四元数 $[1,0]$ ，结果不变。

四元数的模 #

四元数的模公式与向量类似。

\begin{aligned} \|q\| &= \|[w, (x,y,z)]\| = \sqrt{w^2 + x^2 + y^2 + z^2} \\ &= \|[w, v]\| = \sqrt{w^2 + \|v^2\|} \end{aligned}

代入 $n$ 和 $\theta$ 。

\begin{aligned} \|q\| &= \sqrt{w^2 + v^2} \\ &= \sqrt{\cos^2{\theta} + \sin^2{\theta}n^2} \\ \end{aligned}

对于单位四元数， $n$ 的模长为 1。

\begin{aligned} \|q\| &= \sqrt{w^2 + v^2} \\ &= \sqrt{\cos^2{\theta} + \sin^2{\theta}n^2} \\ &= \sqrt{\cos^2{\theta} + \sin^2{\theta}(1)^2} \\ &= \sqrt{\cos^2{\theta} + \sin^2{\theta}} \\ &= 1 \end{aligned}

一般如果用四元数表示方位，通常使用单位四元数表示。

四元数的共轭和逆 #

四元数的共轭记作 $q^*$ ，可通过四元数的向量部分变负得到。

\begin{aligned} q^*&=[w, v]^* \\ &= [w, -v] \\ &= [w, (-x, -y, -z)] \end{aligned}

四元数的逆记作 $q^(-1)$ ，定义为四元数的共轭除以它的模。

q^(-1) = \frac{q^*}{\|q\|}

一个四元数乘以它的逆，结果为单位四元数。

四元数的乘法（叉乘） #

四元数乘法公式。

\begin{aligned} & (w_1 + x_1i + y_1j + z_1k)(w_2 + x_2i + y_2j + z_2k) \\ & \begin{aligned} & = w_1w_2 - x_1x_2 - y_1y_2 - z_1z_2 \\ & + (w_1x_2 + x_1w_2 + y_1z_2 - z_1z_2)i \\ & + (w_1y_2 + y_1w_2 + z_1x_2 - x_1z_2)j \\ & + (w_1z_2 + z_1w_2 + x_1y_2 - y_1x_2)k \\ \end{aligned} \end{aligned}

由上导出了四元数乘法的标准定义。

[w_1, (x_1, y_1, z_1)][w_2, (x_2, y_2, z_2)] \\ = \begin{bmatrix} w_1w_2 - x_1x_2 - y_1y_2 - z_1z_2 \\ \begin{pmatrix} (w_1x_2 + x_1w_2 + y_1z_2 - z_1z_2) \\ (w_1y_2 + y_1w_2 + z_1x_2 - x_1z_2) \\ (w_1z_2 + z_1w_2 + x_1y_2 - y_1x_2) \end{pmatrix} \end{bmatrix}

\begin{aligned} & [w_1 \quad v_1][w_2 \quad v_2] \\ & = [w_1w_2 - v_1 \cdot v_2 w_1v_2 + w_2v_1 + v_2 \times v_1] \end{aligned}

四元数叉乘满足结合律，不满足交换律。

(ab)c = a(bc) \\ ab \neq ba

四元数乘积的模等于模的乘积，这保证了两个单位四元数相乘的结果还是单位四元数。

\|q_1q_2\| = \|q_1\|\|q_2\|

四元数乘积的逆等于各个四元数的逆以相反的顺序相乘。

(ab)^{-1} = a^{-1}b^{-1}

四元数乘法的一个重要的几何意义，可以用于 3D 点的旋转。设旋转四元数 $q$ 的形式为 $[\cos{\theta/2}, \mathbf{n}\sin{\theta/2}]$ ， $\mathbf{n}$ 为旋转轴， $\theta$ 为旋转角，则执行下面的乘法可以使 3D 点 $p$ 绕 $\mathbf{n}$ 旋转 $\theta$ 角。

p^{\prime} = qpq^{-1}

将点 $p$ 用一个四元数 $a$ 旋转后，再用 $b$ 旋转：

\begin{aligned} p^{\prime} &= b(apa^{-1})b^{-1} \\ &= (ba)p(a^{-1}b^{-1}) \\ &= (ba)p(ba)^{-1} \end{aligned}

所以先进行 a 旋转，再进行 b 旋转，等价于执行乘积 ba 代表的单一旋转。四元数的乘法能连接多次旋转，这与矩阵的乘法效果一致。

四元数的“差” #

利用四元数的乘法和逆能够计算四元数的“差”，“差”被定义为一个方位到另一个方位的角位移。即给定方位 a 和 b 就能够计算出从 a 旋转到 b 的角位移 d，用四元数表示，即 $ad=b$ 。

要想计算 $d$ ，就可以使等式两边同时除以 a，但是四元数不能进行除法，但是可以乘以它的逆：

a^{-1}(ad) = a^{-1}b

应用乘法的结合律得到

\begin{aligned} (a^{-1}a)d &= a^{-1}b \\ [1 \quad \mathbf{0}]d&=a^{-1}b \\ d&=a^{-1}b \end{aligned}

四元数点乘 #

四元数点乘与向量的点乘非常类似，而且结果也是个标量。

\begin{aligned} q_1 \cdot q_2 &= [w_1 \quad v_1][w_2 \quad v_2] \\ & = w_1w_2 + v_1 \cdot v_2 \\ &= w_1w_2 + x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 \end{aligned}

四元数点乘的几何解释类似于向量点乘的几何解释，四元数点乘 $a \cdot b$ 的绝对值越大， $a$ 和 $b$ 代表的角位移越相似。

四元数求幂 #

四元数能作为底数，记作 $q^t$ ，四元数求幂与实数求幂类似。四元数 $q$ 代表一个角位移， 1/3 这个角位移的四元数记作 q^{1/3}。例如 $q$ 代表绕 x 轴顺时针旋转 $30^\circ$ ，则 $q^2$ 代表绕 x 轴顺时针旋转 $60^\circ$ ， $q^{-1/3}$ 代表绕 x 轴逆时针旋转 $10^\circ$ 。

（完）