从普通 B 样条曲线到 NURBS：权重、齐次坐标与透视投影 #

在学习 B 样条曲线之后，一个自然的问题是：

为什么还需要 NURBS？它和普通 B 样条有什么区别？

从公式上看，NURBS 似乎只是给每个控制点增加了一个权重；但从几何上看，它有一个更加深刻的解释：

NURBS 曲线可以看成高一维齐次空间中的普通 B 样条曲线，经过透视投影后得到的曲线。

理解这句话，基本就掌握了从普通 B 样条过渡到 NURBS 的核心。

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1. 普通 B 样条曲线 #

一条 $p$ 次 B 样条曲线可以写成

$$\mathbf C(u) = \sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u)\mathbf P_i,$$

其中：

• $\mathbf P_i$ 是控制点；
• $N_{i,p}(u)$ 是 $p$ 次 B 样条基函数；
• 节点向量决定基函数在参数域中的分布。

B 样条基函数满足单位分解性质：

$$\sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)=1.$$

因此，曲线上的点可以理解为控制点的一个随参数变化的加权平均：

$$\mathbf C(u) = N_{0,p}(u)\mathbf P_0 + N_{1,p}(u)\mathbf P_1 +\cdots+ N_{n,p}(u)\mathbf P_n.$$

普通 B 样条具有局部控制、凸包性、连续性可控等优点，非常适合自由曲线设计。

但它有一个重要限制：

普通多项式 B 样条不能精确表示圆、椭圆等圆锥曲线，只能进行近似。

这也是引入有理 B 样条的主要原因之一。

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2. 从普通 B 样条到有理 B 样条 #

为了增强 B 样条的表示能力，我们为每个控制点 $\mathbf P_i$ 增加一个权重 $w_i$。

有理 B 样条曲线定义为

$$\mathbf C(u) = \frac{ \sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u)w_i\mathbf P_i }{ \sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u)w_i }.$$

定义有理基函数

$$R_{i,p}(u) = \frac{ N_{i,p}(u)w_i }{ \sum_{j=0}^{n} N_{j,p}(u)w_j },$$

曲线就可以重新写成

$$\mathbf C(u) = \sum_{i=0}^{n} R_{i,p}(u)\mathbf P_i.$$

它和普通 B 样条形式非常相似，只是原来的多项式基函数 $N_{i,p}(u)$ 被有理基函数 $R_{i,p}(u)$ 替代了。

有理基函数仍满足

$$\sum_{i=0}^{n}R_{i,p}(u)=1.$$

当所有权重都相等时，例如

$$w_i=1,$$

有

$$R_{i,p}(u)=N_{i,p}(u),$$

于是有理 B 样条退化为普通 B 样条。

因此可以说：

普通 B 样条是 NURBS 的特殊情况。

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3. “有理”是什么意思 #

这里的“有理”来自英文 rational，指的是数学中的有理函数，而不是日常语言中的“合理”。

有理函数是两个多项式的比值，例如

$$f(u)=\frac{P(u)}{Q(u)}.$$

在每个节点区间内，B 样条基函数都是多项式，因此有理 B 样条的各个坐标可以表示为两个分段多项式的比值。

例如二维曲线可以写成

$$x(u) = \frac{ \sum_iN_{i,p}(u)w_ix_i }{ \sum_iN_{i,p}(u)w_i },$$ $$y(u) = \frac{ \sum_iN_{i,p}(u)w_iy_i }{ \sum_iN_{i,p}(u)w_i }.$$

这就是“有理 B 样条”名称的来源。

分母

$$W(u)=\sum_iN_{i,p}(u)w_i$$

使曲线不再只是分段多项式曲线，而成为分段有理函数曲线。

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4. 权重的直观意义 #

权重可以直观地理解为控制点对曲线的“吸引力”。

在其他条件不变的情况下：

• 增大 $w_i$，曲线通常会更加靠近控制点 $\mathbf P_i$；
• 减小 $w_i$，曲线通常会远离控制点 $\mathbf P_i$；
• 所有权重相等时，曲线就是普通 B 样条。

但权重并不是简单地移动控制点。

有理基函数为

$$R_{i,p}(u) = \frac{ N_{i,p}(u)w_i }{ \sum_jN_{j,p}(u)w_j }.$$

改变某个权重 $w_i$ 时，不仅会改变该控制点对应的分子，还会改变所有基函数共同使用的分母。

所以权重改变的是各个控制点之间的相对贡献。

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5. 齐次坐标：理解 NURBS 的关键 #

仅仅把权重理解为“吸引力”还不够。NURBS 更本质的解释来自齐次坐标。

假设二维控制点为

$$\mathbf P_i=(x_i,y_i),$$

它的权重为 $w_i$。

把它提升到三维齐次空间中：

$$\mathbf P_i^w = (w_ix_i,;w_iy_i,;w_i).$$

也可以写成

$$\mathbf P_i^w=(w_i\mathbf P_i,w_i).$$

注意，齐次点

$$(w_ix_i,w_iy_i,w_i)$$

投影回二维后仍然是

$$\left( \frac{w_ix_i}{w_i}, \frac{w_iy_i}{w_i} \right) = (x_i,y_i).$$

因此，权重不会改变控制点在原空间中的位置。

它只是为同一个点选择了一个不同的齐次表示。

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6. 一个欧氏点对应齐次空间中的一条射线 #

在齐次空间中，同一个欧氏点有无数种表示。

例如二维点

$$(2,3)$$

可以表示为

$$(2,3,1),$$

也可以表示为

$$(4,6,2),$$

或者

$$(20,30,10).$$

因为投影后都有

$$\left(\frac{2}{1},\frac{3}{1}\right) = \left(\frac{4}{2},\frac{6}{2}\right) \left(\frac{20}{10},\frac{30}{10}\right) (2,3).$$

从几何上说，这些齐次点都位于从原点出发的同一条射线上。

因此，一个欧氏点对应的并不是齐次空间中的单个点，而是一条射线：

$$\lambda(x,y,1).$$

权重 $w_i$ 的作用，就是在这条射线上选择齐次控制点

$$(w_ix_i,w_iy_i,w_i).$$

当 $w_i$ 增大时，该齐次控制点沿射线远离原点；当 $w_i$ 减小时，它沿射线靠近原点。

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7. 在齐次空间中构造普通 B 样条 #

有了齐次控制点之后，可以直接在高一维空间中构造一条普通 B 样条：

$$\mathbf C^w(u) = \sum_iN_{i,p}(u)\mathbf P_i^w.$$

把

$$\mathbf P_i^w=(w_i\mathbf P_i,w_i)$$

代入，得到

$$\mathbf C^w(u) = \sum_i N_{i,p}(u) (w_i\mathbf P_i,w_i).$$

逐坐标展开：

$$\mathbf C^w(u) = \left( \sum_iN_{i,p}(u)w_i\mathbf P_i, ; \sum_iN_{i,p}(u)w_i \right).$$

记作

$$\mathbf C^w(u) = \bigl(\mathbf A(u),W(u)\bigr),$$

其中

$$\mathbf A(u) = \sum_iN_{i,p}(u)w_i\mathbf P_i,$$ $$W(u) = \sum_iN_{i,p}(u)w_i.$$

这里需要特别注意：

分母 $\sum_iN_{i,p}(u)w_i$ 并不是人为添加的，它正是高维 B 样条曲线点的最后一个坐标。

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8. 什么是透视投影 #

现在需要把齐次空间中的曲线点投影回原来的欧氏空间。

对于齐次点

$$(\mathbf A,W),$$

投影结果为

$$\frac{\mathbf A}{W}.$$

例如，从三维齐次空间投影到二维时：

$$(X,Y,W) \longmapsto \left( \frac{X}{W}, \frac{Y}{W} \right).$$

从四维齐次空间投影到三维时：

$$(X,Y,Z,W) \longmapsto \left( \frac{X}{W}, \frac{Y}{W}, \frac{Z}{W} \right).$$

这个过程叫作透视投影，或者中心投影。

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9. 透视投影的几何意义 #

考虑齐次点

$$(X,Y,W).$$

从原点出发，经过该点的射线可以写成

$$\lambda(X,Y,W).$$

我们希望找到这条射线与平面

$$W=1$$

的交点。

交点的最后一个坐标必须满足

$$\lambda W=1.$$

因此

$$\lambda=\frac{1}{W}.$$

代回射线方程：

$$\lambda(X,Y,W) = \left( \frac{X}{W}, \frac{Y}{W}, 1 \right).$$

去掉最后一个坐标 $1$，得到二维欧氏点

$$\left( \frac{X}{W}, \frac{Y}{W} \right).$$

所以，“除以最后一个坐标”的几何意义是：

从原点向齐次点作一条射线，计算这条射线与平面 $W=1$ 的交点。

这与针孔相机中的透视投影具有完全相同的数学形式。

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10. 为什么投影后出现 NURBS 的分母 #

齐次空间中的普通 B 样条为

$$\mathbf C^w(u) = \left( \sum_iN_{i,p}(u)w_i\mathbf P_i, ; \sum_iN_{i,p}(u)w_i \right).$$

透视投影要求用前面的坐标除以最后一个坐标，因此

$$\mathbf C(u) = \frac{ \sum_iN_{i,p}(u)w_i\mathbf P_i }{ \sum_iN_{i,p}(u)w_i }.$$

这正是有理 B 样条曲线的定义。

因此，有理基函数中的分母

$$\sum_iN_{i,p}(u)w_i$$

来自齐次曲线在参数 $u$ 处的最后一个坐标。

它不是额外引入的归一化项，而是透视投影自然产生的结果。

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11. 一个只有两个控制点的例子 #

为了直观理解这个过程，考虑一维中的两个控制点：

$$P_0=0,\qquad P_1=10.$$

在某个参数位置，两个基函数的值为

$$N_0=0.5,\qquad N_1=0.5.$$

控制点权重为

$$w_0=1,\qquad w_1=3.$$

11.1 提升到齐次空间 #

对于一维点 $P_i$，齐次控制点写成

$$P_i^w=(w_iP_i,w_i).$$

因此

P_0^w = # (1\cdot0,1) (0,1), P_1^w = # (3\cdot10,3) (30,3).

虽然第二个齐次控制点是 $(30,3)$，但它投影回去仍然是

$$\frac{30}{3}=10.$$

所以权重没有改变控制点 $P_1$ 的原始位置。

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11.2 在齐次空间中进行普通插值 #

使用基函数值 $N_0=N_1=0.5$：

$$C^w = 0.5P_0^w+0.5P_1^w.$$

代入齐次控制点：

$$C^w = 0.5(0,1)+0.5(30,3).$$

得到

$$C^w=(15,2).$$

这只是齐次空间中两个控制点的普通中点。

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11.3 投影回一维空间 #

从原点出发，经过点 $(15,2)$ 的射线为

$$\lambda(15,2).$$

为了投影到直线

$$W=1,$$

需要令

$$2\lambda=1.$$

所以

$$\lambda=\frac12.$$

投影点为

$$\frac12(15,2) = (7.5,1).$$

因此原来一维空间中的点是

$$C=7.5.$$

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12. 为什么结果是 7.5，而不是 5 #

如果没有权重，两个控制点的普通平均为

$$0.5\cdot0+0.5\cdot10=5.$$

加入权重之后，有理基函数变为

$$R_0 = \frac{N_0w_0}{N_0w_0+N_1w_1} \frac{0.5\cdot1}{0.5\cdot1+0.5\cdot3} \frac14,$$ $$R_1 = \frac{N_1w_1}{N_0w_0+N_1w_1} \frac{0.5\cdot3}{0.5\cdot1+0.5\cdot3} \frac34.$$

所以

$$C = R_0P_0+R_1P_1 \frac14\cdot0+\frac34\cdot10 7.5.$$

原本的系数是

$$0.5,\qquad 0.5,$$

经过权重和投影之后，有效系数变成了

$$0.25,\qquad 0.75.$$

因此结果更靠近权重较大的控制点 $P_1=10$。

这就是“权重增大，曲线更靠近对应控制点”的数学原因。

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13. 权重真正改变的是什么 #

权重不会直接改变欧氏空间中的控制点位置。

对于控制点 $P_i$，齐次表示为

$$P_i^w=(w_iP_i,w_i).$$

无论 $w_i$ 取什么正值，投影后都有

$$\frac{w_iP_i}{w_i}=P_i.$$

权重真正改变的是控制点在齐次射线上的位置。

随后在齐次空间中进行 B 样条组合时，这些不同位置的齐次控制点会产生不同的高维曲线点。

最终，齐次曲线点所在射线的方向发生变化，投影回原空间后，曲线形状也随之变化。

因此可以这样理解：

权重不是直接移动控制点，而是改变高维插值结果的射线方向。

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14. 为什么所有权重相等时会退化为普通 B 样条 #

假设所有控制点具有相同权重：

$$w_i=w.$$

此时有理 B 样条为

$$\mathbf C(u) = \frac{ \sum_iN_{i,p}(u)w\mathbf P_i }{ \sum_iN_{i,p}(u)w }.$$

分子可以提出 $w$：

$$\mathbf C(u) = \frac{ w\sum_iN_{i,p}(u)\mathbf P_i }{ w\sum_iN_{i,p}(u) }.$$

由于

$$\sum_iN_{i,p}(u)=1,$$

所以

$$\mathbf C(u) = \sum_iN_{i,p}(u)\mathbf P_i.$$

这就是普通 B 样条曲线。

从齐次空间看，所有权重相等意味着所有齐次控制点都位于同一个平面

$$W=w$$

上。

此时投影只产生统一缩放，不会改变各控制点之间的相对贡献。

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15. 为什么 NURBS 能精确表示圆 #

普通 B 样条是一类分段多项式曲线，而圆不能被有限次多项式参数方程精确表示。

NURBS 的坐标是有理函数，例如

$$x(u)=\frac{P(u)}{W(u)}, \qquad y(u)=\frac{Q(u)}{W(u)}.$$

通过适当选择控制点和权重，有理二次曲线可以精确表示圆锥曲线，包括：

• 圆；
• 椭圆；
• 抛物线；
• 双曲线。

例如，一个单位圆的四分之一圆弧可以由三个二次有理 Bézier 控制点表示：

$$\mathbf P_0=(1,0),$$ $$\mathbf P_1=(1,1),$$ $$\mathbf P_2=(0,1),$$

其权重为

$$w_0=1, \qquad w_1=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad w_2=1.$$

普通二次 Bézier 曲线只能近似这段圆弧，而使用上述权重的有理二次 Bézier 曲线可以精确表示它。

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16. 齐次坐标对算法的意义 #

齐次坐标不仅提供了一种几何解释，还带来了重要的计算优势。

在原空间中，NURBS 是一个分式：

$$\mathbf C(u) = \frac{\mathbf A(u)}{W(u)}.$$

直接对有理函数进行各种运算通常比较复杂。

但在齐次空间中，它只是普通 B 样条：

$$\mathbf C^w(u) = \sum_iN_{i,p}(u)\mathbf P_i^w.$$

因此，很多普通 B 样条算法都可以直接应用到齐次控制点上，例如：

• de Boor 曲线求值；
• 节点插入；
• 曲线细分；
• 升阶；
• 曲线拼接；
• 控制点变换。

计算完成后，再把结果投影回原空间即可。

这使得有理 B 样条在几何上更强大，同时又能复用普通 B 样条的大量理论和算法。

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17. 从有理 B 样条到 NURBS #

NURBS 是 Non-Uniform Rational B-Spline 的缩写，即：

$$\text{Non-Uniform Rational B-Spline}.$$

它包含四个部分。

Non-Uniform：非均匀 #

节点向量不要求等间距，节点还可以重复。例如：

$$U={0,0,0,0.3,0.7,1,1,1}.$$

“非均匀”描述的是节点向量，而不是控制点分布。

Rational：有理 #

曲线坐标是分段多项式之比，并且控制点带有权重。

B-Spline：B 样条 #

曲线仍然由 B 样条基函数构造，具有局部控制、连续性可控等特征。

因此，NURBS 可以看成普通 B 样条的完整扩展：

$$\boxed{ \text{NURBS} = \text{非均匀节点向量} + \text{B 样条基函数} + \text{控制点权重} }$$

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18. 从曲线推广到曲面 #

普通 B 样条曲面为

$$\mathbf S(u,v) = \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} N_{i,p}(u)M_{j,q}(v)\mathbf P_{i,j}.$$

有理 B 样条曲面为

$$\mathbf S(u,v) = \frac{ \sum_i\sum_j N_{i,p}(u)M_{j,q}(v) w_{i,j}\mathbf P_{i,j} }{ \sum_i\sum_j N_{i,p}(u)M_{j,q}(v) w_{i,j} }.$$

它的齐次控制点为

$$\mathbf P_{i,j}^w = (w_{i,j}\mathbf P_{i,j},w_{i,j}).$$

处理方法和曲线完全一致：

1. 把控制点提升到高一维齐次空间；
2. 在齐次空间中构造普通张量积 B 样条曲面；
3. 对曲面上的齐次点进行透视投影。

因此，理解了有理 B 样条曲线，也就基本理解了有理 B 样条曲面。

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19. 总结 #

从普通 B 样条到 NURBS，可以用以下几个层次来理解。

普通 B 样条曲线是控制点关于 B 样条基函数的组合：

$$\mathbf C(u) = \sum_iN_{i,p}(u)\mathbf P_i.$$

NURBS 为每个控制点增加权重：

$$\mathbf C(u) = \frac{ \sum_iN_{i,p}(u)w_i\mathbf P_i }{ \sum_iN_{i,p}(u)w_i }.$$

从几何上看，每个控制点被提升到齐次空间：

$$\mathbf P_i^w=(w_i\mathbf P_i,w_i).$$

然后在齐次空间中构造普通 B 样条：

$$\mathbf C^w(u) = \sum_iN_{i,p}(u)\mathbf P_i^w.$$

最后，从原点沿射线投影到 $W=1$：

$$(\mathbf A,W) \longmapsto \frac{\mathbf A}{W}.$$

于是得到 NURBS 曲线。

整个过程可以浓缩为：

$$\boxed{ \text{NURBS 曲线} = \text{高一维齐次空间中的普通 B 样条} + \text{透视投影} }$$

这也是理解 NURBS 最重要的心智模型。

权重、分母和有理基函数都不是相互独立的技巧，而是齐次坐标和透视投影自然产生的结果。

（完）