回看 LookAt 矩阵 #

在矩阵变换文章中专门解释过 lookAt 矩阵的原理。可以先看一下前面的文章了解下 LookAt 矩阵。

这里专门详细说明下，为什么 LookAt 矩阵的形式如下：

其中 $(R_x, R_y, R_z)$ 表示摄像机的 $X$ 轴方向向量， $(U_x, U_y, U_z)$ 表示摄像机坐标系的Y轴方向， $(D_x, D_y, D_z)$ 表示摄像机的视线方向及 $Z$ 轴。 $(P_x, P_y, P_z)$ 表示摄像机位置的世界坐标。

这张图里的 LookAt 矩阵，本质上不是“把摄像机变换到世界中”的矩阵，而是它的逆变换：

把一个世界坐标点，转换成以摄像机为原点、以摄像机三个方向为坐标轴的观察空间坐标。

文章也是按照这个思路定义 LookAt 的：世界坐标经过观察矩阵后，变成相对于摄像机位置和方向的观察坐标。(Pengfei XC)

下面假设使用 OpenGL/GLSL 常见的列向量右乘形式：

P_{camera}=View\cdot P_{world}

1. 摄像机实际上定义了一个新的坐标系 #

假设摄像机具有：

世界坐标位置：(\mathbf P)
摄像机 X 轴：(\mathbf R)，Right
摄像机 Y 轴：(\mathbf U)，Up
摄像机 Z 轴：(\mathbf D)

其中：

R= \begin{bmatrix} R_x\\R_y\\R_z \end{bmatrix}, \quad U= \begin{bmatrix} U_x\\U_y\\U_z \end{bmatrix}, \quad D= \begin{bmatrix} D_x\\D_y\\D_z \end{bmatrix}

可以把摄像机坐标系想象成：

                    U：摄像机上方
                    ↑
                    |
                    P --------→ R：摄像机右方
                   /
                  /
                 D：摄像机 Z 轴

这些向量都是用世界坐标系描述的。

所以摄像机坐标系的完整信息是：

原点：P
X 轴：R
Y 轴：U
Z 轴：D

LookAt 要解决的问题是：

已知点在世界坐标系中的坐标，求它在这个摄像机坐标系中的坐标。

2. 第一步：让摄像机位于原点 #

假设世界中有一点：

X= \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}

摄像机位于：

P= \begin{bmatrix} P_x\\P_y\\P_z \end{bmatrix}

从摄像机观察这个点，首先需要求出“点相对于摄像机的位置”：

X - P

因此需要把整个世界平移 $-P$ ：

T(-P)= \begin{bmatrix} 1&0&0&-P_x\\ 0&1&0&-P_y\\ 0&0&1&-P_z\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}

作用到世界坐标点上：

T(-\mathbf P) \begin{bmatrix} x\\y\\z\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x-P_x\\ y-P_y\\ z-P_z\\ 1 \end{bmatrix}

这一步很好理解：

世界点的位置 - 摄像机的位置
= 世界点相对于摄像机的位置

例如：

摄像机位置 P = (3, 0, 0)
世界点位置 X = (5, 1, 0)

那么从摄像机看来：

X-P=(2,1,0)

所以矩阵中必须是 -Px、-Py、-Pz。

文章里所说的“移动的不是摄像机，而是整个场景，将场景向相反方向移动”，指的就是这个过程。(Pengfei XC)

3. 第二步：用摄像机的三个轴描述这个相对位置 #

经过平移以后，得到相对向量：

Q=X - P

但这个向量当前仍然是用世界坐标轴描述的。

我们希望知道：

Q 在摄像机右方向上有多少？
Q 在摄像机上方向上有多少？
Q 在摄像机 Z 方向上有多少？

这正好通过点积计算：

x_{camera}=R \cdot Q \\ y_{camera}= U \cdot Q \\ z_{camera}= D \cdot Q \\

展开：

x_{camera} = R_xQ_x+R_yQ_y+R_zQ_z \\ y_{camera} = U_xQ_x+U_yQ_y+U_zQ_z \\ z_{camera} = D_xQ_x+D_yQ_y+D_zQ_z

把三个点积堆叠成矩阵：

\begin{bmatrix} x_{camera}\\ y_{camera}\\ z_{camera} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_x&R_y&R_z\\ U_x&U_y&U_z\\ D_x&D_y&D_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Q_x\\ Q_y\\ Q_z\ \end{bmatrix}

这就是图片中左侧矩阵的来源：

\begin{bmatrix} R_x&R_y&R_z&0\\ U_x&U_y&U_z&0\\ D_x&D_y&D_z&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}

注意这里三个轴放在了行上，因为每一行都需要和世界坐标向量做一次点积：

第一行 · Q = 摄像机 x 坐标
第二行 · Q = 摄像机 y 坐标
第三行 · Q = 摄像机 z 坐标

4. 两个步骤组合起来 #

我们刚才得到两个步骤。

第一步，减去摄像机位置：

Q= X - P

第二步，分别投影到摄像机三个轴：

\begin{bmatrix} x_c\\y_c\\z_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R^T\\ U^T\\ D^T\\ \end{bmatrix} (X - P)

所以：

LookAt= \begin{bmatrix} R_x&R_y&R_z&0\\ U_x&U_y&U_z&0\\ D_x&D_y&D_z&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0&-P_x\\ 0&1&0&-P_y\\ 0&0&1&-P_z\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}

这正是图片中的形式。

因为使用列向量，所以矩阵从右向左作用：

世界坐标
   ↓
先乘 T(-P)：让摄像机移动到原点
   ↓
再乘摄像机轴矩阵：换成摄像机坐标轴描述
   ↓
观察空间坐标

也就是：

P_{camera} = R_{view}\cdot T(-P)\cdot P_{world}

（完）