从 B 样条曲线到 B 样条曲面：张量积构造、计算方法与性质 #

B 样条曲面并不是一套与 B 样条曲线完全不同的理论。

它可以理解为：在两个参数方向上分别使用 B 样条基函数，再将两个方向的基函数相乘，形成一个二维张量积结构。

从 B 样条曲线过渡到 B 样条曲面，核心变化可以概括为：

B 样条曲线	B 样条曲面
一个参数 $u$	两个参数 $u,v$
一列控制点 $P_i$	二维控制点网格 $P_{i,j}$
一个节点向量 $U$	两个节点向量 $U,V$
一个次数 $p$	两个次数 $p,q$
基函数 $N_{i,p}(u)$	乘积基函数 $N_{i,p}(u)N_{j,q}(v)$
控制多边形	控制网格

一、从 B 样条曲线过渡到 B 样条曲面 #

1. B 样条曲线回顾 #

一条 $p$ 次 B 样条曲线定义为

C(u)=\sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)P_i.

其中：

$u$ 是曲线参数；
$P_i$ 是控制点；
$N_{i,p}(u)$ 是 $p$ 次 B 样条基函数；
控制点共有 $n+1$ 个。

节点向量为

U={u_0,u_1,\ldots,u_r},

节点数量满足

r=n+p+1.

对于一个固定的参数 $u$ ，曲线点 $C(u)$ 是控制点 $P_i$ 的加权组合。

2. 将控制点扩展为控制点网格 #

曲线的控制点只有一个下标：

P_0,P_1,\ldots,P_n.

曲面有两个参数方向，因此控制点需要排列成二维网格：

P_{i,j}, \qquad i=0,\ldots,n, \quad j=0,\ldots,m.

控制点网格可以写成

\begin{matrix} P_{0,0}&P_{0,1}&\cdots&P_{0,m}\ P_{1,0}&P_{1,1}&\cdots&P_{1,m}\ \vdots&\vdots&&\vdots\ P_{n,0}&P_{n,1}&\cdots&P_{n,m} \end{matrix}.

因此，从曲线到曲面的第一个变化是

\boxed{ \text{控制多边形} \longrightarrow \text{控制网格} }

3. 把曲线的控制点替换成另一方向的曲线 #

原来的曲线为

C(u)=\sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)P_i.

现在不再让 $P_i$ 是固定点，而是让它随着另一个参数 $v$ 变化。

对于固定的 $i$ ，定义一条 $v$ 方向的 $q$ 次 B 样条曲线：

Q_i(v)=\sum_{j=0}^{m}N_{j,q}(v)P_{i,j}.

然后将曲线公式中的 $P_i$ 替换为 $Q_i(v)$ ：

S(u,v)=\sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)Q_i(v).

代入 $Q_i(v)$ ：

S(u,v) ====== \sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u) \left( \sum_{j=0}^{m}N_{j,q}(v)P_{i,j} \right).

展开可得

\boxed{ S(u,v)= \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} N_{i,p}(u)N_{j,q}(v)P_{i,j} }

这就是张量积 B 样条曲面的定义。

4. 为什么两个方向的基函数要相乘 #

控制点 $P_{i,j}$ 对曲面点 $S(u,v)$ 的影响，需要同时考虑两个方向：

$u$ 方向的权重为 $N_{i,p}(u)$ ；
$v$ 方向的权重为 $N_{j,q}(v)$ 。

因此，总权重是两个权重的乘积：

\boxed{ B_{i,j}(u,v) ============ N_{i,p}(u)N_{j,q}(v) }

这个二维基函数称为张量积基函数。

可以直观地理解为：

一个控制点只有在 $u$ 方向和 $v$ 方向都对当前参数点有影响时，才会对曲面点产生影响。

二、曲面的节点向量与参数域 #

1. 两个节点向量 #

曲面有两个参数方向，因此也有两个节点向量。

$u$ 方向的节点向量为

U={u_0,u_1,\ldots,u_r},

$v$ 方向的节点向量为

V={v_0,v_1,\ldots,v_s}.

节点数关系分别为

\boxed{r=n+p+1}

和

\boxed{s=m+q+1}.

其中：

$n+1$ 是 $u$ 方向控制点数；
$m+1$ 是 $v$ 方向控制点数；
$p$ 是 $u$ 方向次数；
$q$ 是 $v$ 方向次数。

2. 夹持节点向量 #

若两个方向都采用归一化夹持节点向量，则可以写成

U= { \underbrace{0,\ldots,0}*{p+1}, u*{p+1},\ldots,u_{r-p-1}, \underbrace{1,\ldots,1}_{p+1} },

V= { \underbrace{0,\ldots,0}*{q+1}, v*{q+1},\ldots,v_{s-q-1}, \underbrace{1,\ldots,1}_{q+1} }.

3. 参数域 #

B 样条曲线的参数域是一个区间，而 B 样条曲面的参数域是两个区间的笛卡尔积：

\boxed{ (u,v)\in [u_p,u_{r-p}] \times [v_q,v_{s-q}] }

等价于

u_p\leq u\leq u_{r-p},

v_q\leq v\leq v_{s-q}.

如果两个方向都归一化为 $[0,1]$ ，则参数域为

\boxed{ (u,v)\in[0,1]\times[0,1] }

这个矩形存在于 $uv$ 参数平面中。

需要注意：

参数域是矩形，并不意味着映射到三维空间中的曲面也是矩形。

三、固定一个参数：等参数曲线 #

B 样条曲面的一个重要性质是：固定一个参数后，得到的仍然是 B 样条曲线。

1. 固定 $u=u_0$ #

从曲面公式出发：

S(u,v)= \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m} N_{i,p}(u)N_{j,q}(v)P_{i,j}.

令 $u=u_0$ ，则

S(u_0,v) = \sum_{j=0}^{m} N_{j,q}(v) \left( \sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u_0)P_{i,j} \right).

定义新的控制点

Q_j(u_0) = \sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u_0)P_{i,j},

于是

\boxed{ C_{u_0}(v)=S(u_0,v) \sum_{j=0}^{m} N_{j,q}(v)Q_j(u_0) }

它是一条定义在节点向量 $V$ 上的 $q$ 次 B 样条曲线。

2. 固定 $v=v_0$ #

类似地，

S(u,v_0) = \sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u) \left( \sum_{j=0}^{m} N_{j,q}(v_0)P_{i,j} \right).

定义

R_i(v_0) = \sum_{j=0}^{m} N_{j,q}(v_0)P_{i,j},

于是

\boxed{ C_{v_0}(u)=S(u,v_0) \sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u)R_i(v_0) }

它是一条定义在节点向量 $U$ 上的 $p$ 次 B 样条曲线。

因此：

\boxed{ \text{固定 B 样条曲面的任意一个参数，都会得到一条 B 样条曲线。} }

这些曲线称为等参数曲线。

曲面可以看成由两族纵横交错的等参数曲线编织而成。

四、曲面点的计算方法 #

1. 计算一个曲面点的五个步骤 #

对于一个给定的参数点 $(u,v)$ ，计算 $S(u,v)$ 可以分成五步。

第一步：确定 $u$ 所在节点区间 #

寻找 $i$ ，使得

u\in[u_i,u_{i+1}).

第二步：计算 $u$ 方向非零基函数 #

只需计算

N_{i-p,p}(u),\ldots,N_{i,p}(u).

总共至多有 $p+1$ 个。

第三步：确定 $v$ 所在节点区间 #

寻找 $j$ ，使得

v\in[v_j,v_{j+1}).

第四步：计算 $v$ 方向非零基函数 #

只需计算

N_{j-q,q}(v),\ldots,N_{j,q}(v).

总共至多有 $q+1$ 个。

第五步：与局部控制点相乘并求和 #

曲面点只需使用局部控制点：

\boxed{ S(u,v)= \sum_{k=i-p}^{i} \sum_{l=j-q}^{j} N_{k,p}(u)N_{l,q}(v)P_{k,l} }

因此，计算一个曲面点不需要遍历全部控制点，只需要至多

\boxed{(p+1)(q+1)}

个局部控制点。

2. 矩阵形式 #

将 $u$ 方向的非零基函数写成行向量：

\mathbf N_u^T= \begin{bmatrix} N_{i-p,p}(u)&\cdots&N_{i,p}(u) \end{bmatrix}.

将 $v$ 方向的非零基函数写成列向量：

\mathbf N_v= \begin{bmatrix} N_{j-q,q}(v)\ \vdots\ N_{j,q}(v) \end{bmatrix}.

对应的局部控制点组成矩阵：

\mathbf P= \begin{bmatrix} P_{i-p,j-q}&\cdots&P_{i-p,j}\ \vdots&&\vdots\ P_{i,j-q}&\cdots&P_{i,j} \end{bmatrix}.

于是

\boxed{ S(u,v)= \mathbf N_u^T\mathbf P\mathbf N_v }

其维度关系为

1\times(p+1),

(p+1)\times(q+1),

(q+1)\times1.

3. 分两次曲线求值 #

实际计算时，也可以先沿一个方向计算临时点，再沿另一个方向计算。

例如先沿 $u$ 方向：

Q_l(u) = \sum_{k=i-p}^{i} N_{k,p}(u)P_{k,l},

然后沿 $v$ 方向：

S(u,v) = \sum_{l=j-q}^{j} N_{l,q}(v)Q_l(u).

也可以先沿 $v$ 方向再沿 $u$ 方向，结果完全相同。

五、张量积 B 样条基函数的性质 #

令二维基函数为

B_{i,j}(u,v) = N_{i,p}(u)N_{j,q}(v).

这些性质大多由两个方向的一维 B 样条基函数直接推导得到。

1. 非负性 #

一维 B 样条基函数满足

N_{i,p}(u)\geq0,

N_{j,q}(v)\geq0.

因此乘积满足

\boxed{ N_{i,p}(u)N_{j,q}(v)\geq0 }

二维基函数不会产生负权重。

2. 规范性或单位分解 #

两个方向分别满足

\sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)=1,

\sum_{j=0}^{m}N_{j,q}(v)=1.

因此

\begin{aligned} \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m} N_{i,p}(u)N_{j,q}(v) &= \left( \sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u) \right) \left( \sum_{j=0}^{m}N_{j,q}(v) \right)\ &=1\cdot1\ &=1. \end{aligned}

所以

\boxed{ \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m} N_{i,p}(u)N_{j,q}(v)=1 }

3. Bézier 基函数是特殊情况 #

如果

n=p, \qquad m=q,

并且两个方向都没有内部节点：

U= { \underbrace{0,\ldots,0}*{p+1}, \underbrace{1,\ldots,1}*{p+1} },

V= { \underbrace{0,\ldots,0}*{q+1}, \underbrace{1,\ldots,1}*{q+1} },

则

N_{i,p}(u)=B_{i,p}(u),

N_{j,q}(v)=B_{j,q}(v),

其中 $B_{i,p}$ 和 $B_{j,q}$ 是 Bernstein 多项式。

因此

N_{i,p}(u)N_{j,q}(v) = B_{i,p}(u)B_{j,q}(v).

张量积 B 样条基函数便退化为张量积 Bernstein 基函数。

4. 局部支撑性 #

一维基函数的支撑域分别为

N_{i,p}(u)=0, \qquad u\notin[u_i,u_{i+p+1}),

N_{j,q}(v)=0, \qquad v\notin[v_j,v_{j+q+1}).

因此，如果参数点 $(u,v)$ 位于矩形

[u_i,u_{i+p+1}) \times [v_j,v_{j+q+1})

之外，则

\boxed{ N_{i,p}(u)N_{j,q}(v)=0 }

也就是说，二维基函数的支撑域是一个参数矩形。

5. 一个节点小矩形内非零基函数的数量 #

设

(u,v)\in [u_{i_0},u_{i_0+1}) \times [v_{j_0},v_{j_0+1}).

在 $u$ 方向可能非零的基函数为

N_{i_0-p,p}(u),\ldots,N_{i_0,p}(u),

共 $p+1$ 个。

在 $v$ 方向可能非零的基函数为

N_{j_0-q,q}(v),\ldots,N_{j_0,q}(v),

共 $q+1$ 个。

因此，一个节点小矩形中至多有

\boxed{(p+1)(q+1)}

个张量积基函数非零。

6. 唯一最大值 #

若 $p>0$ 且 $q>0$ ，则张量积基函数

N_{i,p}(u)N_{j,q}(v)

在其支撑域中只达到一次最大值。

直观上，二维基函数的峰值位置由两个一维基函数各自的峰值位置共同决定。

7. 分片二元多项式性质 #

在由相邻节点线构成的开矩形内部：

(u,v)\in (u_k,u_{k+1}) \times (v_l,v_{l+1}),

一维基函数分别是关于 $u$ 和 $v$ 的多项式。

因此

N_{i,p}(u)N_{j,q}(v)

是一个二元多项式：

关于 $u$ 的次数不超过 $p$ ；
关于 $v$ 的次数不超过 $q$ 。

所以 B 样条曲面是分片双变量多项式曲面。

8. 基函数的连续性 #

若 $u$ 方向某个内部节点的重复度为 $k$ ，则基函数关于 $u$ 通常具有

\boxed{C^{p-k}}

连续性。

若 $v$ 方向某个内部节点的重复度为 $k$ ，则基函数关于 $v$ 通常具有

\boxed{C^{q-k}}

连续性。

例如，当 $p=3$ 时：

简单节点 $k=1$ ：关于 $u$ 为 $C^2$ ；
二重节点 $k=2$ ：关于 $u$ 为 $C^1$ ；
三重节点 $k=3$ ：关于 $u$ 为 $C^0$ 。

两个参数方向的连续性可以分别控制。

六、B 样条曲面的几何性质 #

1. Bézier 曲面是特殊的 B 样条曲面 #

当 $n=p$ 、 $m=q$ ，且两个方向都没有内部节点时：

S(u,v) = \sum_{i=0}^{p}\sum_{j=0}^{q} B_{i,p}(u)B_{j,q}(v)P_{i,j}.

这正是张量积 Bézier 曲面。

因此

\boxed{ \text{Bézier 曲面是单曲面片的 B 样条曲面。} }

2. 角点插值性质 #

若两个节点向量都是首尾夹持的，并且参数域为 $[0,1]^2$ ，则曲面插值控制网格的四个角点：

\boxed{S(0,0)=P_{0,0}}

\boxed{S(1,0)=P_{n,0}}

\boxed{S(0,1)=P_{0,m}}

\boxed{S(1,1)=P_{n,m}}

这是曲线端点插值性质在两个方向上的推广。

3. 四条边界是 B 样条曲线 #

对于夹持曲面，四条边界分别为：

S(0,v) = \sum_{j=0}^{m} N_{j,q}(v)P_{0,j},

S(1,v) = \sum_{j=0}^{m} N_{j,q}(v)P_{n,j},

S(u,0) = \sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u)P_{i,0},

S(u,1) = \sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u)P_{i,m}.

因此，曲面的四条边界本身都是 B 样条曲线，并分别由控制网格最外侧的一行或一列控制点决定。

4. 仿射不变性 #

设仿射变换为

T(X)=AX+b.

对曲面进行仿射变换：

T(S(u,v)) = A \left( \sum_i\sum_j N_{i,p}(u)N_{j,q}(v)P_{i,j} \right) +b.

利用规范性

\sum_i\sum_j N_{i,p}(u)N_{j,q}(v)=1,

得到

\begin{aligned} T(S(u,v)) &= \sum_i\sum_j N_{i,p}(u)N_{j,q}(v) \bigl(AP_{i,j}+b\bigr)\ &= \sum_i\sum_j N_{i,p}(u)N_{j,q}(v)T(P_{i,j}). \end{aligned}

所以

\boxed{ T(S(u,v)) = \sum_i\sum_j N_{i,p}(u)N_{j,q}(v)T(P_{i,j}) }

即：

对整张曲面做仿射变换，等价于对所有控制点做同样的仿射变换，再重新构造曲面。

5. 凸包性质 #

曲面点写成

S(u,v)= \sum_i\sum_j w_{i,j}(u,v)P_{i,j},

其中

w_{i,j}(u,v) = N_{i,p}(u)N_{j,q}(v).

由于

w_{i,j}(u,v)\geq0

且

\sum_i\sum_jw_{i,j}(u,v)=1,

所以 $S(u,v)$ 是控制点的凸组合。

因此

\boxed{ S(u,v) \text{ 位于整个控制网格的凸包内} }

6. 强凸包性质 #

设

(u,v)\in [u_{i_0},u_{i_0+1}) \times [v_{j_0},v_{j_0+1}).

则当前曲面点只受以下控制点影响：

P_{i,j},

其中

i=i_0-p,\ldots,i_0,

j=j_0-q,\ldots,j_0.

因此

\boxed{ S(u,v) \text{ 位于这 }(p+1)(q+1) \text{ 个局部控制点的凸包内} }

这就是 B 样条曲面的强凸包性质。

例如，对于 $3\times2$ 次曲面，即 $p=3$ 、 $q=2$ ，一个局部曲面片至多由

(3+1)(2+1)=12

个控制点决定。

7. 控制网格的三角化逼近 #

将控制网格中的每个四边形拆分成三角形，可以得到一个由平面三角片组成的分片线性曲面。

这个三角网格可以作为 B 样条曲面的平面片逼近。

一般来说：

\boxed{ \text{曲面次数越低，控制网格的三角化通常越接近实际曲面。} }

但控制网格本身通常并不位于曲面上，它只是曲面的几何控制结构。

8. 局部修改性 #

控制点 $P_{i,j}$ 对应的基函数支撑域为

[u_i,u_{i+p+1}) \times [v_j,v_{j+q+1}).

因此，移动控制点 $P_{i,j}$ ，只会影响该参数矩形对应的局部曲面区域。

即

\boxed{ \text{修改一个控制点，只会局部改变曲面。} }

这也是 B 样条曲面适合交互式几何建模的重要原因。

9. 曲面的连续性与可微性 #

曲面

S(u,v)= \sum_i\sum_j N_{i,p}(u)N_{j,q}(v)P_{i,j}

的连续性与可微性由基函数决定。

若 $u$ 方向某节点重复度为 $k$ ，则曲面跨越相应节点线时，关于 $u$ 通常为

\boxed{C^{p-k}}.

若 $v$ 方向某节点重复度为 $k$ ，则曲面关于 $v$ 通常为

\boxed{C^{q-k}}.

因此：

增加 $u$ 方向节点重复度，会降低跨越对应 $u$ 节点线时的光滑性；
增加 $v$ 方向节点重复度，会降低跨越对应 $v$ 节点线时的光滑性。

10. 重复节点与重复控制点的区别 #

产生尖锐特征有两种不同方式。

重复节点 #

重复节点会直接降低基函数和曲面的参数连续阶数。

例如三次方向 $p=3$ ：

简单节点： $C^2$ ；
二重节点： $C^1$ ；
三重节点： $C^0$ 。

重复控制点 #

如果相邻的若干控制点重合，可以形成明显的尖锐隆起、脊线或皱折。

但需要注意：

重复控制点不一定改变基函数本身的连续阶数。

曲面在参数意义上可能仍然具有较高阶连续性，但几何外观上可以非常尖锐。

七、曲线性质不能全部机械推广到曲面 #

多数 B 样条曲线性质都可以通过张量积推广到曲面，例如：

非负性；
单位分解；
局部性；
凸包性；
仿射不变性；
连续性；
局部修改性。

但是，并不是所有曲线性质都能直接推广。

书中特别指出：

\boxed{ \text{B 样条曲面一般不具有与 B 样条曲线完全对应的变差减小性。} }

对于曲线，可以利用控制多边形与直线的交点数来研究曲线的振荡程度。

但对于二维曲面，并不存在一个同样简单、直接对应的变差减小结论。

八、B 样条曲线与曲面的对应关系 #

曲线中的概念	曲面中的推广
参数 $u$	参数对 $(u,v)$
控制点 $P_i$	控制点网格 $P_{i,j}$
控制多边形	控制网格
节点向量 $U$	节点向量 $U,V$
次数 $p$	双次数 $(p,q)$
基函数 $N_{i,p}(u)$	$N_{i,p}(u)N_{j,q}(v)$
参数域为区间	参数域为矩形
局部 $p+1$ 个基函数非零	局部至多 $(p+1)(q+1)$ 个基函数非零
固定参数得到一个点	固定一个参数得到一条等参数曲线
端点插值	四角点插值
局部凸包	局部控制点网格的凸包
修改一个控制点影响局部曲线	修改一个控制点影响局部曲面
Bézier 曲线是特殊情况	Bézier 曲面是特殊情况

九、总结 #

B 样条曲面是 B 样条曲线在两个参数方向上的张量积推广。

从曲线

C(u)= \sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)P_i

出发，将控制点替换为另一方向上的 B 样条曲线，就得到

\boxed{ S(u,v)= \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m} N_{i,p}(u)N_{j,q}(v)P_{i,j} }

理解 B 样条曲面时，可以抓住以下几个核心观点：

曲面有两个参数。
$u$ 和 $v$ 分别控制两个参数方向。
控制点由一列变成二维网格。
控制多边形推广为控制网格。
二维基函数是两个一维基函数的乘积。
$B_{i,j}(u,v)=N_{i,p}(u)N_{j,q}(v).$
固定一个参数，就得到一条 B 样条曲线。
曲面由两族等参数曲线组成。
局部曲面点只受有限控制点影响。
在一个节点小矩形中，最多只有
$(p+1)(q+1)$
个控制点参与计算。
曲线的多数性质可以推广到曲面。
包括非负性、规范性、凸包性、仿射不变性、局部修改性和连续性。
连续性可以在两个方向分别控制。
$u$ 方向由次数 $p$ 和节点向量 $U$ 中的节点重复度决定， $v$ 方向由次数 $q$ 和节点向量 $V$ 中的节点重复度决定。

因此，B 样条曲面可以看成：

\boxed{ \text{用两个方向的 B 样条曲线，通过张量积编织而成的曲面。} }

（完）