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日期：2024年3月14日标签：Computer Graphics

仿射变换：从矩阵公式到几何性质 #

在计算机图形学，经常会遇到“仿射变换”这个概念。

平移、旋转、缩放、错切和反射，都可以统一写成仿射变换。更重要的是，仿射变换能够保持直线、平行关系、中点和重心等几何性质。

我将从二维仿射变换的基本公式出发，推导它的主要性质，并说明 B 样条曲线为什么具有仿射不变性。

1. 仿射变换的定义 #

二维平面中的仿射变换通常写成：

[x′ y′]=============[ab cd][x y]+[tx ty].\begin{bmatrix} x'\ y' \end{bmatrix} ============= \begin{bmatrix} a&b\ c&d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_x\ t_y \end{bmatrix}.

展开矩阵乘法，得到：

x′=ax+by+tx,x'=ax+by+t_x, y′=cx+dy+ty.y'=cx+dy+t_y.

其中：

  • (x,y)(x,y) 是变换前的点；
  • (x′,y′)(x',y') 是变换后的点；
  • 矩阵
A=[ab cd]A= \begin{bmatrix} a&b\ c&d \end{bmatrix}

控制旋转、缩放、反射和错切等线性变化；

  • 向量
t=[tx ty]\mathbf t= \begin{bmatrix} t_x\ t_y \end{bmatrix}

控制平移。

因此，仿射变换可以简写为：

T(x)=Ax+t.T(\mathbf x)=A\mathbf x+\mathbf t.

2. 一个具体的仿射变换 #

考虑下面的变换：

[x′ y′]=============[23 45][x y]+[1 −2].\begin{bmatrix} x'\ y' \end{bmatrix} ============= \begin{bmatrix} 2&3\ 4&5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1\ -2 \end{bmatrix}.

展开后为：

x′=2x+3y+1,x'=2x+3y+1, y′=4x+5y−2.y'=4x+5y-2.

记

A=[23 45],t=[1 −2].A= \begin{bmatrix} 2&3\ 4&5 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf t= \begin{bmatrix} 1\ -2 \end{bmatrix}.

那么：

T(x)=Ax+t.T(\mathbf x)=A\mathbf x+\mathbf t.

下面通过这个例子推导仿射变换的主要性质。

3. 两点之差不受平移影响 #

设平面上有两个点：

P=(x1,y1),Q=(x2,y2).P=(x_1,y_1), \qquad Q=(x_2,y_2).

它们经过仿射变换后分别为：

T(P)=AP+t,T(P)=AP+\mathbf t, T(Q)=AQ+t.T(Q)=AQ+\mathbf t.

两者相减：

T(Q)−T(P)=(AQ+t)−(AP+t) =A(Q−P).\begin{aligned} T(Q)-T(P) &=(AQ+\mathbf t)-(AP+\mathbf t)\ &=A(Q-P). \end{aligned}

所以：

T(Q)−T(P)=A(Q−P).\boxed{T(Q)-T(P)=A(Q-P)}.

这个公式说明，平移向量 t\mathbf t 在两点相减时会被抵消。

因此：

  • 点的位置变化由 AA 和 t\mathbf t 共同决定；
  • 线段的方向、长度变化和平行关系主要由矩阵 AA 决定。

4. 仿射变换将直线变成直线 #

一条经过点 PP、方向向量为 v\mathbf v 的直线可以写成：

x(s)=P+sv.\mathbf x(s)=P+s\mathbf v.

其中 ss 是参数。

对直线上的点进行仿射变换：

T(x(s))=A(P+sv)+t =AP+sAv+t =T(P)+sAv.\begin{aligned} T(\mathbf x(s)) &=A(P+s\mathbf v)+\mathbf t\ &=AP+sA\mathbf v+\mathbf t\ &=T(P)+sA\mathbf v. \end{aligned}

变换后的方程仍然具有“一个固定点加参数乘方向向量”的形式，因此它仍然是一条直线。

所以：

仿射变换将直线映射为直线。\boxed{\text{仿射变换将直线映射为直线。}}

示例 #

原来的 xx 轴可以表示为：

(x,y)=(s,0).(x,y)=(s,0).

代入变换：

x′=2s+1,x'=2s+1, y′=4s−2.y'=4s-2.

因此变换后的点为：

(x′,y′)=(1,−2)+s(2,4).(x',y')=(1,-2)+s(2,4).

这仍然是一条直线，其方向向量由原来的 (1,0)(1,0) 变成了 (2,4)(2,4)。

5. 仿射变换保持平行性 #

假设两条直线的方向向量分别为：

v\mathbf v

和

λv.\lambda\mathbf v.

因为两个方向向量成比例，所以这两条直线平行。

经过仿射变换后，它们的方向向量变为：

AvA\mathbf v

和

A(λv)=λAv.A(\lambda\mathbf v)=\lambda A\mathbf v.

变换后的方向向量仍然成比例，因此两条直线仍然平行。

所以：

可逆仿射变换保持平行关系。\boxed{\text{可逆仿射变换保持平行关系。}}

这里强调“可逆”，是因为如果 AA 不可逆，某个非零方向向量可能被压缩为零向量，甚至整个平面可能被压缩到一条直线上。

6. 仿射变换保持同一直线上的比例 #

设点 RR 位于线段 PQPQ 所在的直线上，并满足：

R=(1−λ)P+λQ.R=(1-\lambda)P+\lambda Q.

当 0≤λ≤10\leq\lambda\leq1 时，RR 位于线段 PQPQ 内部。

对 RR 进行仿射变换：

T(R)=A((1−λ)P+λQ)+t =(1−λ)AP+λAQ+t.\begin{aligned} T(R) &=A\bigl((1-\lambda)P+\lambda Q\bigr)+\mathbf t\ &=(1-\lambda)AP+\lambda AQ+\mathbf t. \end{aligned}

因为：

(1−λ)+λ=1,(1-\lambda)+\lambda=1,

所以平移向量可以写成：

t=(1−λ)t+λt.\mathbf t=(1-\lambda)\mathbf t+\lambda\mathbf t.

因此：

T(R)=(1−λ)(AP+t)+λ(AQ+t) =(1−λ)T(P)+λT(Q).\begin{aligned} T(R) &=(1-\lambda)(AP+\mathbf t) +\lambda(AQ+\mathbf t)\ &=(1-\lambda)T(P)+\lambda T(Q). \end{aligned}

所以：

T((1−λ)P+λQ)===================================(1−λ)T(P)+λT(Q).\boxed{ T\bigl((1-\lambda)P+\lambda Q\bigr) =================================== (1-\lambda)T(P)+\lambda T(Q) }.

这说明仿射变换保持同一直线上的分点比例。

7. 仿射变换保持中点 #

线段 PQPQ 的中点为：

M=P+Q2.M=\frac{P+Q}{2}.

这相当于取：

λ=12.\lambda=\frac12.

根据前面的结论：

T(M)====T(P)+T(Q)2.T(M) ==== \frac{T(P)+T(Q)}{2}.

所以原线段的中点，经过仿射变换后，仍然是新线段的中点。

即：

仿射变换保持中点。\boxed{\text{仿射变换保持中点。}}

示例 #

取：

P=(0,0),Q=(2,0).P=(0,0), \qquad Q=(2,0).

中点为：

M=(1,0).M=(1,0).

经过变换：

T(P)=(1,−2),T(P)=(1,-2), T(Q)=(5,6),T(Q)=(5,6), T(M)=(3,2).T(M)=(3,2).

而变换后两个端点的中点为：

(1,−2)+(5,6)2======================(3,2).\frac{(1,-2)+(5,6)}{2} ====================== (3,2).

它正好等于 T(M)T(M)。

8. 仿射变换保持重心 #

设三角形的三个顶点为 P1,P2,P3P_1,P_2,P_3，其重心为：

G=P1+P2+P33.G=\frac{P_1+P_2+P_3}{3}.

经过仿射变换：

T(G)=A(P1+P2+P33)+t =AP1+AP2+AP33+t =T(P1)+T(P2)+T(P3)3.\begin{aligned} T(G) &=A\left(\frac{P_1+P_2+P_3}{3}\right)+\mathbf t\ &=\frac{AP_1+AP_2+AP_3}{3}+\mathbf t\ &=\frac{T(P_1)+T(P_2)+T(P_3)}{3}. \end{aligned}

因此：

仿射变换保持三角形的重心。\boxed{\text{仿射变换保持三角形的重心。}}

更一般地，如果：

X=∑i=1nλiPi,X=\sum_{i=1}^{n}\lambda_iP_i,

并且：

∑i=1nλi=1,\sum_{i=1}^{n}\lambda_i=1,

那么：

T(X)=∑i=1nλiT(Pi).T(X)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_iT(P_i).

这种系数之和等于 11 的线性组合称为仿射组合。

所以，仿射变换最重要的代数性质是：

仿射变换保持仿射组合。\boxed{\text{仿射变换保持仿射组合。}}

9. 仿射变换保持凸组合 #

如果仿射组合中的系数还满足：

λi≥0,\lambda_i\geq0,

并且：

∑i=1nλi=1,\sum_{i=1}^{n}\lambda_i=1,

那么这个组合称为凸组合。

也就是说：

X=∑i=1nλiPiX=\sum_{i=1}^{n}\lambda_iP_i

位于控制点集合的凸包内。

经过仿射变换：

T(X)=∑i=1nλiT(Pi).T(X)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_iT(P_i).

系数没有发生改变，因此凸组合关系仍然成立。

所以仿射变换也会把一个图形的凸包映射为变换后控制点的凸包。

10. 面积如何变化 #

二维仿射变换对面积的缩放倍数，由矩阵 AA 的行列式决定。

若原图形面积为 SS，则变换后面积为：

S′=∣det⁡A∣S.S'=|\det A|S.

本例中：

A=[23 45].A= \begin{bmatrix} 2&3\ 4&5 \end{bmatrix}.

其行列式为：

\det A ====== # 2\cdot5-3\cdot4 -2.

因此：

∣det⁡A∣=2.|\det A|=2.

这说明：

变换后的面积是原面积的两倍。\boxed{\text{变换后的面积是原面积的两倍。}}

行列式为负数还表示图形的方向发生反转。

例如，一个顶点按逆时针排列的三角形，经过该变换后会变成顺时针排列。

因此本例同时具有两个效果：

  • 面积扩大为原来的两倍；
  • 图形方向发生翻转。

11. 仿射变换一般不保持长度 #

考虑原来的单位向量：

e1=[1 0].\mathbf e_1= \begin{bmatrix} 1\ 0 \end{bmatrix}.

经过矩阵 AA 变换后：

Ae1============[23 45][1 0]=============[2 4].A\mathbf e_1 ============ \begin{bmatrix} 2&3\ 4&5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\ 0 \end{bmatrix} ============= \begin{bmatrix} 2\ 4 \end{bmatrix}.

原向量长度为：

∣e1∣=1.|\mathbf e_1|=1.

变换后的长度为：

|A\mathbf e_1| ============== # \sqrt{2^2+4^2} \sqrt{20}.

长度发生了改变。

再看另一个单位向量：

e2=[0 1].\mathbf e_2= \begin{bmatrix} 0\ 1 \end{bmatrix}.

变换后：

Ae2============[3 5].A\mathbf e_2 ============ \begin{bmatrix} 3\ 5 \end{bmatrix}.

其长度为：

|A\mathbf e_2| ============== # \sqrt{3^2+5^2} \sqrt{34}.

两个原本长度相同的单位向量，变换后的长度并不相同。

所以：

一般仿射变换不保持长度。\boxed{\text{一般仿射变换不保持长度。}}

12. 仿射变换一般不保持角度 #

原来的两个单位向量：

e1=(1,0),e2=(0,1)\mathbf e_1=(1,0), \qquad \mathbf e_2=(0,1)

互相垂直，因为：

e1⋅e2=0.\mathbf e_1\cdot\mathbf e_2=0.

经过变换后：

Ae1=(2,4),A\mathbf e_1=(2,4), Ae2=(3,5).A\mathbf e_2=(3,5).

计算点积：

(2,4)\cdot(3,5) =============== # 2\cdot3+4\cdot5 26.

由于：

26≠0,26\neq0,

所以变换后的两个方向不再垂直。

因此：

一般仿射变换不保持角度和垂直关系。\boxed{\text{一般仿射变换不保持角度和垂直关系。}}

13. 仿射变换一般不保持圆 #

圆的方程为：

x2+y2=r2.x^2+y^2=r^2.

经过一般的非均匀缩放、错切等仿射变换后，圆通常会变成椭圆。

例如：

x′=2x,y′=y.x'=2x, \qquad y'=y.

相当于将水平方向放大两倍。

原来的圆：

x2+y2=1x^2+y^2=1

会变为：

x′24+y′2=1.\frac{x'^2}{4}+y'^2=1.

这是一条椭圆。

所以：

一般仿射变换不保持圆，但会把圆锥曲线变成圆锥曲线。\boxed{\text{一般仿射变换不保持圆，但会把圆锥曲线变成圆锥曲线。}}

14. 仿射变换何时可逆 #

仿射变换：

T(x)=Ax+tT(\mathbf x)=A\mathbf x+\mathbf t

是否可逆，取决于矩阵 AA 是否可逆。

在二维中，条件是：

det⁡A≠0.\det A\neq0.

本例中：

det⁡A=−2≠0,\det A=-2\neq0,

因此该仿射变换可逆。

原方程为：

x′=2x+3y+1,x'=2x+3y+1, y′=4x+5y−2.y'=4x+5y-2.

解出原坐标：

x=−52x′+32y′+112,x=-\frac52x'+\frac32y'+\frac{11}{2}, y=2x′−y′−4.y=2x'-y'-4.

因此，每一个变换后的点 (x′,y′)(x',y') 都唯一对应一个原来的点 (x,y)(x,y)。

如果：

det⁡A=0,\det A=0,

那么变换不可逆，可能发生以下情况：

  • 整个平面被压缩到一条直线上；
  • 整个平面被压缩到一个点；
  • 不同的原始点被映射到同一个点。

15. 仿射变换的齐次坐标表示 #

普通矩阵乘法只能直接表示线性变换，不能直接表示平移。

为了把线性变化和平移统一为一次矩阵乘法，可以使用齐次坐标。

将二维点 (x,y)(x,y) 写成：

[x y 1].\begin{bmatrix} x\ y\ 1 \end{bmatrix}.

仿射变换可以写成：

[x′ y′ 1]=============[abtx cdty 001][x y 1].\begin{bmatrix} x'\ y'\ 1 \end{bmatrix} ============= \begin{bmatrix} a&b&t_x\ c&d&t_y\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\ y\ 1 \end{bmatrix}.

对于本文的例子：

[x′ y′ 1]=============[231 45−2 001][x y 1].\begin{bmatrix} x'\ y'\ 1 \end{bmatrix} ============= \begin{bmatrix} 2&3&1\ 4&5&-2\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\ y\ 1 \end{bmatrix}.

使用齐次坐标后：

  • 平移可以写成矩阵乘法；
  • 多次仿射变换可以通过矩阵相乘进行合并；
  • 更适合计算机图形学中的统一实现。

16. 常见仿射变换 #

16.1 平移 #

x′=x+tx,x'=x+t_x, y′=y+ty.y'=y+t_y.

矩阵形式：

T(x)=Ix+t.T(\mathbf x)=I\mathbf x+\mathbf t.

16.2 缩放 #

x′=sxx,x'=s_xx, y′=syy.y'=s_yy.

对应矩阵：

A=[sx0 0sy].A= \begin{bmatrix} s_x&0\ 0&s_y \end{bmatrix}.

当 sx=sys_x=s_y 时是等比例缩放；当 sx≠sys_x\neq s_y 时是非均匀缩放。

16.3 旋转 #

绕原点逆时针旋转 θ\theta：

[x′ y′]=============[cos⁡θ−sin⁡θ sin⁡θcos⁡θ][x y].\begin{bmatrix} x'\ y' \end{bmatrix} ============= \begin{bmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\ \sin\theta&\cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\ y \end{bmatrix}.

16.4 错切 #

水平方向错切：

x′=x+ky,x'=x+ky, y′=y.y'=y.

对应矩阵：

A=[1k 01].A= \begin{bmatrix} 1&k\ 0&1 \end{bmatrix}.

16.5 反射 #

关于 xx 轴反射：

x′=x,x'=x, y′=−y.y'=-y.

对应矩阵：

A=[10 0−1].A= \begin{bmatrix} 1&0\ 0&-1 \end{bmatrix}.

这些变换以及它们的任意组合，仍然都是仿射变换。

17. 为什么 B 样条具有仿射不变性 #

一条 pp 次 B 样条曲线定义为：

C(u)=∑i=0nNi,p(u)Pi.C(u)=\sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)P_i.

其中：

  • PiP_i 是控制点；
  • Ni,p(u)N_{i,p}(u) 是 B 样条基函数。

B 样条基函数满足单位分解性质：

∑i=0nNi,p(u)=1.\sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)=1.

设仿射变换为：

T(x)=Ax+t.T(\mathbf x)=A\mathbf x+\mathbf t.

对曲线进行仿射变换：

T(C(u))=A(∑i=0nNi,p(u)Pi)+t =∑i=0nNi,p(u)APi+t.\begin{aligned} T(C(u)) &=A\left(\sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)P_i\right)+\mathbf t\ &=\sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)AP_i+\mathbf t. \end{aligned}

利用：

∑i=0nNi,p(u)=1,\sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)=1,

可以写成：

t=========∑i=0nNi,p(u)t.\mathbf t ========= \sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)\mathbf t.

于是：

T(C(u))=∑i=0nNi,p(u)APi+∑i=0nNi,p(u)t =∑i=0nNi,p(u)(APi+t) =∑i=0nNi,p(u)T(Pi).\begin{aligned} T(C(u)) &=\sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)AP_i +\sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)\mathbf t\ &=\sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)(AP_i+\mathbf t)\ &=\sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)T(P_i). \end{aligned}

因此：

T(C(u))=======∑i=0nNi,p(u)T(Pi).\boxed{ T(C(u)) ======= \sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)T(P_i) }.

这说明：

先生成 B 样条曲线，再对整条曲线做仿射变换，与先对所有控制点做相同的仿射变换，再重新生成 B 样条曲线，结果完全相同。

这就是 B 样条曲线的仿射不变性。

18. 仿射变换保持哪些性质 #

仿射变换通常保持：

  • 直线性；
  • 共线性；
  • 平行性；
  • 同一直线上的比例；
  • 中点；
  • 重心；
  • 仿射组合；
  • 凸组合；
  • 凸包关系。

仿射变换一般不保持：

  • 长度；
  • 角度；
  • 垂直关系；
  • 圆；
  • 面积的具体数值。

但面积会按照统一倍数变化：

S′=∣det⁡A∣S.S'=|\det A|S.

19. 仿射变换与其他几何变换的关系 #

常见变换之间可以写成如下包含关系：

刚体变换⊂相似变换⊂仿射变换⊂射影变换.\text{刚体变换} \subset \text{相似变换} \subset \text{仿射变换} \subset \text{射影变换}.

刚体变换 #

保持长度和角度，包括：

  • 平移；
  • 旋转；
  • 反射。

相似变换 #

在刚体变换的基础上允许统一缩放，保持角度和形状。

仿射变换 #

允许非均匀缩放和错切，保持直线和平行关系，但不一定保持长度与角度。

射影变换 #

保持直线，但不一定保持平行性。例如透视摄影中，现实中的平行铁轨在图像中可能相交于消失点。

20. 总结 #

二维仿射变换的基本形式为：

T(x)=Ax+t.\boxed{ T(\mathbf x)=A\mathbf x+\mathbf t }.

其中，矩阵 AA 控制线性形变，向量 t\mathbf t 控制平移。

仿射变换最核心的性质来自两个公式。

第一个公式是：

T(Q)−T(P)=A(Q−P).\boxed{ T(Q)-T(P)=A(Q-P) }.

它说明平移不影响两点之间的方向差。

第二个公式是：

T(∑iλiPi)================================∑iλiT(Pi),∑iλi=1.\boxed{ T\left(\sum_i\lambda_iP_i\right) ================================ \sum_i\lambda_iT(P_i), \qquad \sum_i\lambda_i=1 }.

它说明仿射变换保持仿射组合。

由此可以推出：

  • 直线仍然是直线；
  • 平行线仍然平行；
  • 中点仍然是中点；
  • 重心仍然是重心；
  • 同一直线上的比例保持不变；
  • B 样条只需变换控制点，就能得到整条曲线的仿射变换结果。

因此，在几何建模和计算机图形学中，仿射变换之所以重要，不仅是因为它能表示多种常见变换，更因为它能够保留大量有用的几何结构。

（完）

上一篇：常量指针 or 指针常量下一篇：参数化曲线
目录
仿射变换：从矩阵公式到几何性质
1. 仿射变换的定义
2. 一个具体的仿射变换
3. 两点之差不受平移影响
4. 仿射变换将直线变成直线
示例
5. 仿射变换保持平行性
6. 仿射变换保持同一直线上的比例
7. 仿射变换保持中点
示例
8. 仿射变换保持重心
9. 仿射变换保持凸组合
10. 面积如何变化
11. 仿射变换一般不保持长度
12. 仿射变换一般不保持角度
13. 仿射变换一般不保持圆
14. 仿射变换何时可逆
15. 仿射变换的齐次坐标表示
16. 常见仿射变换
16.1 平移
16.2 缩放
16.3 旋转
16.4 错切
16.5 反射
17. 为什么 B 样条具有仿射不变性
18. 仿射变换保持哪些性质
19. 仿射变换与其他几何变换的关系
刚体变换
相似变换
仿射变换
射影变换
20. 总结