本篇文章是我翻译的一篇文章，原文地址：OpenGL Projection Matrix。 文章介绍了正射（平行）投影矩阵和透视投影矩阵的证明方法，作者讲述的很好，我看完之后觉得很有帮助，所以直接翻译了，希望更多的人能看到这篇文章。
计算机显示器是一个2D平面。OpenGL渲染时必须将一个3D的场景投影在屏幕上成为一个2D的图片。GL_PROJECTION矩阵的就是用作这种投影变换。首先，其将所有的顶点数据从视觉坐标系（眼坐标系）转化到裁剪空间。然后，通过除以裁剪坐标系中的w分量，将转化后的裁剪坐标变换成标准设备坐标系（NDC）。
因此，我们必须记住GL_PROJECTION集成了裁剪和转化成标准设备坐标系的功能。下面的模块讲述了，如何从以下6个参数建立投影矩阵：left、right、bottom、top、near和far等边界值。
需要注意的是，裁剪空间中的平头截体的裁剪过程发生在，除以wc分量之前。将裁剪坐标 xc, yc和zc和wc进行比较，如果其中任意一个值小于wc或者大于wc，那么这个顶点将会被裁剪掉，渲染时会丢弃这个顶点。
-wc < xc,yc,zc < wc
当裁剪发生时，OpenGL会重新构建裁剪的边界和边线。
在透视投影时，裁剪截体是一个锥形的，然后被映射到标准设备坐标系中（一个立方体），NDC的x、y和z轴的范围都是从-1至+1。
注意，视觉坐标系是右手坐标系，而NDC使用的是左手坐标系，它们的z值方向是相反的，在视觉坐标系中，摄像机在原点，观察方向为z轴的负值方向，但是在NDC中，摄像机的观察方向却是z轴的正值方向。因此，glFrustum()的near和far参数必须大于0，所以在构建GL_PROJECTION矩阵时，我们必须对它们取反。
在openGL中，视觉空间中一个3D的点会被投影在近平面上（投影面）。下面的示意图展示了视觉坐标系中的点(xe, ye, ze)是如何投影到近平面上的(xp, yp, zp)的。
从上向下看向锥形截体，视觉坐标系的x坐标，xe会被映射到xp，可以通过相似三角形比例特性计算出xp：
从侧面看向锥形截体，可以通过同样的方法，计算出yp:
可以看到，xp和yp都依赖于ze,并且和-ze成反比的关系。换句话说，它们都被-ze除。这是构建GL_PROJECTION矩阵的第一个线索。当视觉坐标系的坐标通过乘以GL_PROJECTION矩阵转化成裁剪坐标，转化后的裁剪坐标任然是一个齐次坐标。最后通过除以w分量，转化成标准设备坐标系（NDC）。（可以在OpenGL变换中了解更多细节。）
因此，我们可以将裁剪坐标的第四个分量设置为-ze. 因此GL_PROJECTION矩阵的第四行变成了(0, 0, -1, 0).
接下来，我们将xp和yp映射到标准设备坐标系中的xn和yn, 可以使用如下线性关系进行映射：[l, r] => [-1, 1] 和[b, t] => [-1, 1]。
然后，我们把上面等式中的xp和yp替换掉。
注意，上面的等式中，最后都转化为除以-ze，这正好与透视除法（xc/wc, yc/ wc）对应。在此之前，我们已经将wc设置为-ze了，因此等式括号中的部分，变成了xc和yc。
通过这些等式，我们可以得出GL_PROJECTION矩阵的第一行和第二行。
现在，我们只需要再计算GL_PROJECTION矩阵的第三行了。计算zn和计算xn、yn有点不同，因为视觉坐标系中的ze总是被投影到近平面（-n）上。但是我们需要一个独特的z值进行裁剪和深度测试。而且，我们还能够对其逆投影（逆转换）。因为z与x和y无关，我们可以借助w分量来寻找zn和ze的关系。因此我们可以指定GL_PROJECTION矩阵的第三行如下：
在视觉坐标系中we等于1，所以等式变成了：
为了计算出系数A和B, 可以利用(ze, zn)的关系；(-n, -1)和(-f, 1), 将他们放进上面的等式中：
计算出A和B的值：
我们得到了A和B的值，所以ze和zn的关系变成：
最后我们得到了完整的GL_PROJECTION矩阵：
上面的投影矩阵是一个通用锥形截体的矩阵，如果视觉空间是对称的，满足r=-l并且t=-b，我们可以将上面的矩阵简化如下：
在讨论正射投影之前，我们在重新看一下ze和zn的关系。通过等式3，你注意到这是一个关系函数，但是ze和zn并不是线性关系。这意味着，离近平面越近精度越高，离近平面越远精度越低。如果[-n, -f]的范围越大，它会导致精度问题（z-fighting）；在远平面附近的点的ze值发生很小的变化并不会影响zn的值。所以n和f的差值尽量小，这样可以减少深度缓冲的精度问题。
正射投影矩阵的建立比透视投影矩阵的建立会简单很多。
视觉空间坐标系中的xe，ye和ze分量，都会被线性的映射到标准设备坐标系（NDC）中。仅需要缩放视觉空间到标准设备空间（范围是-1~+1）中，然后将其移动到原点位置。接下来通过线性关系，计算GL_PROJECTION正射投影矩阵的各个值。
因为正射投影不需要w分量，所以矩阵的第四行仍然为(0, 0, 0, 1)。因此完整的GL_PROJECTION正射投影矩阵如下：
如果截体区域是对称的r=-l并且t=-b, 矩阵可以简化如下：
（完）
