线性系统 #

线性方程 #

线性方程的各项不是线性项（实数与次数为 1 的变量之积）就是常数。例如：

\begin{aligned} & 5x + 3 = 7 \\ & 2x_{1} + 4 = 12 + 17x_{2} - 5x_{3} \\ & x + y = 5 \end{aligned}

我们知道含有两个未知数的线性方程的所有解，是一个二维空间中的直线。

我比较感兴趣的是线性系统，即由多个线性方程所构成的线性方程组。这里只讨论两个未知数的方程所构成的线性系统。方程如下：

\begin{aligned} & a_{1,1}x + a_{1,2}y = c_1 \\ & a_{2,1}x + a_{2,2}y = c_{2} \end{aligned}

上面两个方程可以表示二维空间中的两条直线，所以方程的解可以从以下三个方面考虑：

$m \times n$ 的线性系统形式如下：

a_{1,1}x_{1} + a_{1,2}x_{2} + \cdots + a_{1,n}x_{n} = c_{1} \\ a_{2,1}x_{1} + a_{2,2}x_{2} + \cdots + a_{2,n}x_{n} = c_{2} \\ \vdots \\ a_{m,1}x_{1} + a_{m,2}x_{2} + \cdots + a_{m,n}x_{n} = c_{m}

上述方程组可以用矩阵表示：

AX = C

即：

\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ & & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{m} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{m} \\ \end{bmatrix}

矩阵 A 为 系数矩阵（coefficient matrix），而矩阵

\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} & c_{1}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} & c_{2}\\ & & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} & c_{m} \end{bmatrix}

称为 增广矩阵（augmented matrix）。

当 $c_{1} = c_{2} = \cdots = c_{m} = 0$ 时，线性系统为 齐次系统（homogeneous system）。

给一个方程组如下：

\begin{align} 3x + 2y = 6 \\ x - y = 1 \end{align}

使用消元法求解，用 $-3$ 乘以（2），将结果与 (1) 相加，得到 $5y = 3$ ，所以得到 $y = 3/5$ ，将 y 带回（1）可得 $x = 8/5$ 。

将上述消元过程用矩阵表示。增广矩阵为：

\begin{bmatrix} 3 & 2 & 6 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}

-3 乘以第二行：

\begin{bmatrix} 3 & 2 & 6 \\ -3 & 3 & -3 \end{bmatrix}

将第一行与第二行相加，并将得到的结果替换其中一个方程：

\begin{bmatrix} 3 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 3/5 \end{bmatrix}

上述对矩阵的 “消元” 过程，就是矩阵的减行过程，应用这些运算，即用一个数乘以矩阵的一行，用该行与另一行之和替换其中一行，显然不会影响系统的解。另一个不影响系统解的操作是交换矩阵的两行，显然线性方程组并不关心方程的次序。

对于 $m \times n$ 的线性系统

a_{1,1}x_{1} + a_{1,2}x_{2} + a_{1,3}x_{3} + \cdots + a_{1,n}x_{n} = c_1 \\ a_{2,1}x_{1} + a_{2,2}x_{2} + a_{2,3}x_{3} + \cdots + a_{2,n}x_{n} = c_2 \\ \vdots \\ a_{m,1}x_{1} + a_{m,2}x_{2} + a_{m,3}x_{3} + \cdots + a_{m,n}x_{n} = c_m \\

进行“消元”后，得到

\begin{aligned} b_{1,1}x_{1} + b_{1,2}x_{2} + b_{1,3}x_{3} + \cdots + b_{1,n}x_{n} & = d_1 \\ b_{2,k_2}x_{k_2} + b_{2,k_3}x_{k_3} + \cdots + b_{2,n}x_{n} & = d_2 \\ & \vdots \\ b_{r,k_r}x_{k_r} + \cdots + b_{r,n}x_{n} & = d_r \end{aligned}

最后一个方程的下标不再与 m 有关，因为进行消元后，某些方程可能可以被完全消除，所以 $r \leq m$ 。

总结，不会影响线性系统解的基本运算包含以下操作：

进行完全减行后的矩阵的非零行数，叫做矩阵的秩，秩是矩阵线性无关的行的向量的个数，如果秩等于维数，则矩阵的行可作为矩阵所定义空间的基。

（完）