Cheat sheet for Matrix #

算数运算 #

矩阵加法和减法：将两个矩阵的对应元素相加（减）得到新的矩阵的对应元素。

\begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} \\ a_{10} & a_{11} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{00} & b_{01} \\ b_{10} & b_{11} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{00} + b_{00} & a_{01} + b_{01} \\ a_{10} + b_{10} & a_{11} + b_{11} \end{bmatrix}

数量的乘法和除法：用数量与每个元素相乘。

k \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} \\ a_{10} & a_{11} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ka_{00} & ka_{01} \\ ka_{10} & ka_{11} \end{bmatrix}

其他性质：

将矩阵的行作为列，列作为行，得到一个新的矩阵，新的矩阵就是原矩阵的转置矩阵。原矩阵用 $A$ 表示，则 $A$ 的转置记为 $A^T$ 。

原矩阵：

\begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} \end{bmatrix}

转置矩阵：

\begin{bmatrix} a_{00} & a_{10} \\ a_{01} & a_{11} \\ a_{02} & a_{12} \end{bmatrix}

转置矩阵的性质：

所有项为 0 的矩阵，为 0 矩阵。

\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

一个 $m \times n$ 的矩阵 A 和一个 $n \times r$ 的矩阵 B，它们的乘积 $AB$ 是一个大小为 $m \times r$ 的矩阵 C，其元素 $C_{i,j}$ 为 A 的第 i 行和 B 的第 j 列的点积：

\begin{aligned} AB & = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,r} \\ a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,r} \\ \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} a_{1,1}b_{1,1} + a_{1,2}b_{2,1} + \cdots + a_{1,n}b_{n,1} & a_{1,1}b_{1,2} + a_{1,2}b_{2,2} + \cdots + a_{1,n}b_{n,2} & \cdots & a_{1,1}b_{1,r} + a_{1,2}b_{2,r} + \cdots + a_{1,n}b_{n,r} \\ a_{2,1}b_{1,1} + a_{2,2}b_{2,1} + \cdots + a_{2,n}b_{n,1} & a_{2,1}b_{1,2} + a_{2,2}b_{2,2} + \cdots + a_{2,n}b_{n,2} & \cdots & a_{2,1}b_{1,r} + a_{2,2}b_{2,r} + \cdots + a_{2,n}b_{n,r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1}b_{1,1} + a_{m,2}b_{2,1} + \cdots + a_{m,n}b_{n,1} & a_{m,1}b_{1,2} + a_{m,2}b_{2,2} + \cdots + a_{m,n}b_{n,2} & \cdots & a_{m,1}b_{1,r} + a_{m,2}b_{2,r} + \cdots + a_{m,n}b_{n,r} \\ \end{bmatrix} \end{aligned}

矩阵乘法的性质：

无交换性：矩阵乘法没有交换性 $AB \neq BA$ 。
结合性： $A(BC) = (AB)C$ 。
数乘结合性： $(kA)B = k(AB)$ 。
乘法对加法的交换性：如果 A 是 $m \times n$ 矩阵，B 和 C 是 $n \times r$ 的矩阵，则 $A(B + C) = AB + AC$ 。

除对角线元素外的其他所有元素都为 0 的矩阵称为对角矩阵。

对角线元素上的元素都相同的对角矩阵称为数量矩阵。

对角线元素都为 1 的对角矩阵称为单位矩阵。

除对角线元素之上或者之下的元素外，其他元素都为 0 的矩阵，称为上三角矩阵或者下三角矩阵。

M = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ 0 & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n,n} \end{bmatrix} \\

M = \begin{bmatrix} a_{1,1} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \end{bmatrix}

（完）