递归 #

一. 递归的含义 #

递归（英语：Recursion），又译为递回，在数学与计算机科学中，是指在函数的定义中使用函数自身的方法。

维基百科有几个语言例子，我觉得挺有意思：

从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事呢！故事是什么呢？“从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事呢！故事是什么呢？‘从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事呢！故事是什么呢？……’”
一只狗来到厨房，偷走一小块面包。厨子举起杓子，把那只狗打死了。于是所有的狗都跑来了，给那只狗掘了一个坟墓，还在墓碑上刻了墓志铭，让未来的狗可以看到：“一只狗来到厨房，偷走一小块面包。厨子举起杓子，把那只狗打死了。于是所有的狗都跑来了，给那只狗掘了一个坟墓，还在墓碑上刻了墓志铭，让未来的狗可以看到：‘一只狗来到厨房，偷走一小块面包。厨子举起杓子，把那只狗打死了。于是所有的狗都跑来了，给那只狗掘了一个坟墓，还在墓碑上刻了墓志铭，让未来的狗可以看到……’”
大雄在房里，用时光电视看着从前的情况。电视画面中的那个时候，他正在房里，用时光电视，看着从前的情况。电视画面中的电视画面的那个时候，他正在房里，用时光电视，看着从前的情况……

可以看出递归实际就是循环，不过是程序一遍又一遍的调用自身，然后递归程序必须有一个退出循环的条件，否则就会导致死循环。

二.走楼梯 #

有一个经典的算法题，问一个10级台阶的楼梯，如果每次只能走一个台阶或者两个台阶，那么有多少种走法？很多人看过很多次这种题目，所以很快的写出如下答案：

function solution(n) {
    if (n === 1) return 1;
    if (n === 2) return 2;
    return solution(n - 1) + solution(n - 2);
}

solution(10);

该解法，就用了递归的思想，因为一个人每走一次，有两种走法，可以走两个台阶，也可以走一个台阶。所以在n台阶上，他前一步可能在n-1台阶上，也可能在n-2台阶上。假设要到达n-1台阶上，有solution(n-1)种走法，到达n-2台阶有solution(n-2)种走法，那么到达n台阶，有solution(n-1) + solution(n-2)种走法。

注意我上面的解答给出了递归终止点：

    if (n === 1) return 1;
    if (n === 2) return 2;

如果没有这两句，程序将会进入死循环，导致内存溢出。

相信大家在看到题目时，都会很容易的写出上面的答案，但是上面的解法效率并不高。

三.正向解法 #

上面的走楼梯有没有更好的解法呢？能不能优化算法的效率呢？请仔细想一想。

如果我们分析solution(n-1)+solution(n-2)的递归树，会发现里面有大量的重复计算，时间复杂度是以n的指数增长的。我们以solution(5)为例：

台阶算法递归树

可以看到solution(3)需要重复两次计算，solution(2)需要重复3次，solution(1)重复两次。

我们将上面的解法，反过来求解，先求s1，在求s2，在通过s1和s2求s3，然后依次求s4、s5...这样算法的复杂度为n。然后我们可以写出如下代码：

function solution(n) {
    if (n === 1) {
        return 1;
    }
    if (n === 2) {
        return 2;
    }
    var a = 1, b = 2, index = 3;
    while(index < n) {
        var tem = a;
        a = b;
        b = tem + b;
        index++;
    }
    return a + b;
}

（完）