首先讲述下函数的几种性质，设函数为 f(x)，定义域为 D。
若存在 k1，在定义域内的所有 x 满足, f(x) <= k1，则 k1 为函数的上界。
若存在 k2，在定义域内的所有 x 满足, f(x) >= k2，则 k2 为函数的下界。
如果函数上任意两点 x1 和 x2，当 x1 < x2 时，恒有 f(x1) < f(x2)，称函数是单调增加的，若恒有 f(x1) > f(x2)，称函数是单调减小的。
当函数的定义域关于原点对称，并且 f(-x) = f(x)，那么 f(x) 为偶函数。
当函数的定义域关于原点对称，并且 f(-x) = -f(x)，那么 f(x) 为奇函数。
当函数的定义域不关于原点堆成，那么 f(x) 非奇非偶。
如果存在一个正数 l，使得对任意定义域内的 x 和 x + l，满足 f(x + l) = f(x)，那么称 f(x) 为周期函数。通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。
分析函数图像，我是通过函数的导数分析的。三次函数求导后变成了二次，二次变成了一次，关于如何求导，可以自行百度。这里，我只说明导数是如何影响函数图像的。
当某一点的导数大于0，此时该点处的切线方向是递增方向的，即由第三象限指向第一象限。当导数等于0，切线方向为水平方向。当导数小于0，切线方向是递减方向。因此可以从某一点的导数判断此时函数图像是递增还是递减的。
接下来，我们借助函数的导数从函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性分析一些常见的函数。
一次函数指的是形为 f(x) = ax + b （a 不等于 0）的函数，例如 f(x) = x + 1，它的函数图像如下。
因为 a != 0，所以函数无界。
当 a > 0 时，函数单调递增的，当 a < 0 时，函数单调递减。
当 b = 0 时，此时函数图像经过原点，此时为奇函数。
当 b != 0 时，此时函数非奇非偶。
一次函数无周期性。
二次函数是描述抛物线的数学表达式，指的是形为 f(x) = ax² + bx + c（a 不等于 0）的函数，例如 f(x) = x² + 3。
二次函数有界，当 a > 0 时，有下界，反之有上界。
当 a > 0 时，二次函数开口向上，所以最小值为谷底，当 x = -b / (2a) 时，函数取得最小值 c。
当 a < 0 时，二次函数开口向下，所以最小值为峰顶，当 x = -b / (2a) 时，函数取得最大值 c。
计算函数最大值和最小值可以通过函数求导得到。
当 a > 0 时，二次函数开口向上，当 x < -b / (2a) 时，函数递减，当 x > -b / (2a)，函数递增。
当 a < 0 时，二次函数开口向下，当 x < -b / (2a) 时，函数递增，当 x > -b / (2a)，函数递减。
二次函数总是关于 x = -b / (2a) 对称，所以当 b != 0 时，函数非奇非偶。
当 b = 0 时 满足 f(x) = f(-x)，所以函数为偶函数。
二次函数无周期性。
指的是形为 f(x) = ax³ + bx² + cx + d（a 不等于 0）的函数，例如 f(x) = x³，它的图像如下。
三次函数的导数为二次函数 f(x)'，因为二次函数当 y 等于 0 时，可能的解的情况有 0、1 或者 2 个，所以三次函数的图像比较复杂。可能的情况有：
f(x)' <= 0 恒成立 #无界。
函数递减。
可能为奇函数，也可能非奇非偶，例如 f(x) = -x³ 为奇函数，f(x) = -x³ + 3 非奇非偶。
无。
f(x)' >= 0 恒成立 #无界。
函数递增。
可能为奇函数，也可能非奇非偶，例如 f(x) = x³ 为奇函数，f(x) = x³ + 3 非奇非偶。
无。
f(x)' = 0 有两个解 #此时根据 f(x)' 函数的开口方向，f(x) 的递增递减顺序不同。当 f(x)' 函数开口向上时，导数先大于0，然后小于0，最后大于0，所以 f(x) 函数图像的变化是递增 -> 递减 -> 递增，你因该能想象它的形状类似于字母 N 。反之当 f(x)' 函数开口向下时，f(x) 函数图像的变化是递减 -> 递增 -> 递减，是一个反过来的 N 。
无界。
根据导数函数 f(x)' 函数的开口方向不同而不同。当开口向上时，单调性 递增 -> 递减 -> 递增，当开口向下时递减 -> 递增 -> 递减。
可能为奇函数，也可能非奇非偶。
无。
对数函数是形为 f(x) = loga(x)的函数，其中 a 为底数，必须满足 a > 0 并且 a != 1，定义域必须满足 x > 0。下面分别是底数大于1和小于1的对数函数图像。
无界。
当底数 a > 1 时，递增，a < 1 时，递减。
非奇非偶。
无。
形为 f(x) = aˣ 的函数，称之为指数函数，其中 a 不等于1且大于0（等于1时，函数图像为 y = 1 的直线）。下图分别是当 a > 1 和 a < 1 时，指数函数的图像。
有下界，无上界。
当a > 1 时，递增，a < 1 时，递减。
非奇非偶。
无。
正弦函数f(x) = sin(x)。
有上下界，上界为1，下界为-1。
在 x 属于 [2kπ - π / 2, 2kπ + π / 2]时递增，x 属于[2kπ + π / 2, 2kπ + 3π / 2]时递减，其中 k∈Z。
奇函数。
有周期性，周期为 2π。
余弦函数f(x) = cos(x)。
有上下界，上界为1，下界为-1。
在 x 属于 [2kπ - π, 2kπ]时递增，x 属于[2kπ, (2k + 1)π]时递减，其中 k∈Z。
偶函数。
有周期性，周期为 2π。
正切函数为f(x) = tan(x)。
无界。
正切函数并非完全递增的，由图可知，它的单调递增区间为 (-π/2+kπ，+π/2+kπ), k∈Z。
奇函数。
有周期性，周期为 π。
（完）