B样条曲线 #

在学习曲线建模时，Bézier 曲线通常是最先接触的一类曲线。它的形式简洁，几何意义直观，非常适合用来理解“控制点如何影响曲线形状”。

但是当曲线形状变得复杂时，单条 Bézier 曲线会暴露出一些明显问题。B-Spline，也就是 B 样条曲线，正是为了解决这些问题而出现的。

本文主要整理两个问题：

为什么需要 B-Spline？它解决了什么问题？
B-Spline 的数学定义是什么？

1. 为什么需要 B-Spline？ #

1.1 Bézier 曲线的基本形式 #

一条 $n$ 次 Bézier 曲线可以写成：

C(t)=\sum_{i=0}^{n}B_{i,n}(t)P_i

其中：

B_{i,n}(t)=\binom{n}{i}(1-t)^{n-i}t^i

这里：

$P_i$ 是控制点；
$B_{i,n}(t)$ 是 Bernstein 基函数；
$t$ 是曲线参数，通常满足 $0 \leq t \leq 1$ 。

从形式上看，Bézier 曲线就是对控制点做加权求和：

\text{曲线点}=\sum \text{基函数权重}\times \text{控制点}

这个形式非常重要，因为 B-Spline 后面也采用类似结构。

1.2 Bézier 曲线的问题一：控制点数量决定曲线次数 #

Bézier 曲线有一个特点：

\text{曲线次数}=\text{控制点数量}-1

例如：

4 个控制点对应 3 次 Bézier 曲线；
6 个控制点对应 5 次 Bézier 曲线；
11 个控制点对应 10 次 Bézier 曲线。

这会带来一个问题：

如果我们为了描述更复杂的形状而增加控制点，曲线次数也会随之升高。

高次数曲线通常有几个缺点：

第一，计算更复杂。曲线点、导数、曲率等计算都会变得更麻烦。

第二，曲线更难控制。高次曲线容易产生不必要的摆动或振荡。

第三，整体影响更强。修改一个控制点时，可能会影响整条曲线，而不是只影响局部区域。

因此，Bézier 曲线在简单形状中很好用，但当曲线变得复杂时，单条高次 Bézier 曲线就不太方便。

1.3 Bézier 曲线的问题二：缺少局部控制性 #

Bézier 曲线还有一个重要问题：它是整体控制的。

也就是说，移动某一个控制点时，通常会影响整条曲线。

如果我们只想修改曲线中间的一小段，比如让花瓶的瓶颈部分更细一点，使用单条 Bézier 曲线会比较麻烦。因为调整某个控制点时，曲线其他部分也会受到影响。

这在复杂曲线设计中非常不方便。

1.4 一种改进思路：使用多段低次 Bézier 曲线 #

为了避免使用一条高次 Bézier 曲线，可以把复杂曲线拆成多段低次 Bézier 曲线。

例如，不用一条 11 次 Bézier 曲线，而是使用几段 3 次 Bézier 曲线拼接起来。

这样做的好处是：

每一段曲线次数较低；
整体曲线仍然可以表达复杂形状；
局部修改更方便。

但是这种方法又带来一个新的问题：拼接处的连续性需要手动处理。

比如两段曲线拼接时，如果希望连接处看起来没有尖角，就需要满足切线方向一致，也就是 $G^1$ 连续。

如果希望更严格一些，还要满足导数连续，也就是 $C^1$ 连续。

手动维护这些连续性条件会比较麻烦。

1.5 B-Spline 的核心思想 #

B-Spline 可以看成是对这个问题的进一步解决：

使用多段低次数曲线拼接出复杂形状，同时自动维护一定的连续性。

B-Spline 的核心思想是：

不再用一条高次曲线描述整个形状；
而是用多段低次多项式曲线拼接；
每一段曲线通常次数较低，例如 2 次、3 次；
曲线整体仍然可以表达复杂形状；
控制点主要影响局部区域，而不是整条曲线。

因此，B-Spline 解决了 Bézier 曲线的两个主要问题：

第一，控制点数量和曲线次数解耦。也就是说，可以有很多控制点，但仍然保持较低次数。

第二，具有局部控制性。修改一个控制点时，通常只影响曲线的一小段区域。

这就是 B-Spline 相比 Bézier 曲线更适合复杂建模的原因。

2. B-Spline 的定义 #

2.1 B-Spline 曲线的形式 #

给定 $n+1$ 个控制点：

P_0,P_1,\ldots,P_n

给定一个节点向量：

U=\{u_0,u_1,\ldots,u_m\}

以及曲线次数 $p$ ，那么一条 $p$ 次 B-Spline 曲线定义为：

C(u)=\sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)P_i

其中：

$C(u)$ 是曲线上的点；
$u$ 是参数；
$P_i$ 是第 $i$ 个控制点；
$N_{i,p}(u)$ 是第 $i$ 个 $p$ 次 B-Spline 基函数；
$p$ 是曲线次数。

这个公式和 Bézier 曲线的形式很像。

Bézier 曲线是：

C(t)=\sum_{i=0}^{n}B_{i,n}(t)P_i

B-Spline 曲线是：

C(u)=\sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)P_i

二者都是：

\text{曲线点}=\sum \text{基函数权重}\times \text{控制点}

区别在于：

Bézier 使用 Bernstein 基函数 $B_{i,n}(t)$ ；
B-Spline 使用 B-Spline 基函数 $N_{i,p}(u)$ 。

2.2 B-Spline 基函数的含义 #

在公式

C(u)=\sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)P_i

中， $N_{i,p}(u)$ 可以理解为：

当参数为 $u$ 时，第 $i$ 个控制点 $P_i$ 对曲线点 $C(u)$ 的影响权重。

例如，某个参数 $u$ 处只有几个基函数非零，那么曲线点只会由这几个控制点共同决定。

这就是 B-Spline 局部控制性的来源。

Bézier 曲线中，Bernstein 基函数通常在整个参数区间上都有影响，因此控制点会影响整条曲线。

而 B-Spline 基函数通常只在某一小段参数区间内非零，因此控制点只影响局部曲线。

2.3 B-Spline 基函数的递归定义 #

B-Spline 基函数通常不是像 Bernstein 基函数那样直接写成一个简单公式，而是用递归方式定义。

这个递归定义通常称为 Cox-de Boor 递归公式。

首先定义 0 次基函数：

N_{i,0}(u)= \begin{cases} 1, & u_i \le u < u_{i+1} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}

意思是：

如果参数 $u$ 落在区间 $[u_i,u_{i+1})$ 内，那么 $N_{i,0}(u)=1$ ；否则为 0。

然后递归定义 $p$ 次基函数：

N_{i,p}(u)= \frac{u-u_i}{u_{i+p}-u_i}N_{i,p-1}(u) + \frac{u_{i+p+1}-u}{u_{i+p+1}-u_{i+1}}N_{i+1,p-1}(u)

如果分母为 0，则对应项通常记为 0。

这个公式的含义是：

高一次的 B-Spline 基函数，是由两个低一次的 B-Spline 基函数组合而成的。

例如：

$N_{i,1}(u)$ 由 0 次基函数构造；
$N_{i,2}(u)$ 由 1 次基函数构造；
$N_{i,3}(u)$ 由 2 次基函数构造。

所以 B-Spline 基函数是逐层递归生成的。

2.4 节点向量 Knot Vector #

B-Spline 与 Bézier 的一个重要区别是：B-Spline 需要节点向量。

节点向量写作：

U=\{u_0,u_1,\ldots,u_m\}

其中每个 $u_i$ 叫做 knot，也就是节点。

节点向量的作用是划分参数区间。

例如，如果参数区间被节点分成若干小区间：

[u_i,u_{i+1}]

那么每个小区间就叫做一个 knot span。

B-Spline 曲线正是在这些 knot span 上分段定义的。

因此，B-Spline 可以理解为：

一条由多个低次数多项式曲线段拼接而成的曲线。

每个 knot span 对应曲线的一小段。

2.5 n、m、p 的关系 #

定义 B-Spline 时，控制点数量、节点数量和曲线次数不能随便给，它们必须满足一个固定关系：

m=n+p+1

这里：

控制点数量是 $n+1$ ；
节点数量是 $m+1$ ；
曲线次数是 $p$ 。

因此也可以写成：

\text{节点数量}=\text{控制点数量}+p+1

因为：

m+1=(n+1)+p+1

举个例子：

如果有 10 个控制点，那么：

n+1=10

所以：

n=9

如果曲线次数是 3，即：

p=3

那么：

m=n+p+1=9+3+1=13

节点数量是：

m+1=14

所以，10 个控制点的三次 B-Spline 曲线需要 14 个节点。

2.6 次数不能超过控制点数量限制 #

除了满足

m=n+p+1

之外，还需要满足：

p \leq n

也就是说：

\text{曲线次数} \leq \text{控制点数量}-1

例如，如果只有 3 个控制点，那么：

n+1=3

所以：

n=2

这时最多只能定义 2 次曲线，不能定义 5 次 B-Spline。

因此，像“5 次 B-Spline，10 个节点，3 个控制点”这样的组合是不合法的。

因为 3 个控制点最多只能支持 2 次曲线，不可能定义 5 次曲线。

2.7 Open、Clamped 和 Closed B-Spline #

根据节点向量的不同，B-Spline 曲线可以有不同类型。

Open B-Spline #

普通的 open B-Spline 不一定经过第一个控制点和最后一个控制点。

它的首尾也不一定与控制多边形的首尾边相切。

Clamped B-Spline #

如果希望 B-Spline 像 Bézier 曲线一样：

从第一个控制点开始；
到最后一个控制点结束；
起点处与第一条控制边相切；
终点处与最后一条控制边相切；

就可以使用 clamped B-Spline。

做法是让节点向量的首尾节点重复 (p+1) 次。

例如三次 B-Spline 中：

p=3

因此首尾节点各重复：

p+1=4

次。

例如：

U=\{0,0,0,0,0.25,0.5,0.75,1,1,1,1\}

这就是一个 clamped knot vector。

Closed B-Spline #

如果希望曲线首尾相接，形成闭合曲线，就可以构造 closed B-Spline。

这种曲线常用于轮廓、环形曲线、封闭路径等场景。

3. B-Spline 的核心性质 #

B-Spline 之所以有用，是因为它的基函数具有一些重要性质。

3.1 非负性 #

N_{i,p}(u)\geq 0

基函数不会产生负权重。

3.2 权重和为 1 #

在有效参数区间内，B-Spline 基函数满足：

\sum_i N_{i,p}(u)=1

因此曲线点可以看成控制点的加权平均。

这保证了曲线不会随意偏离控制点形成的区域。

3.3 局部支撑 #

每个基函数 (N_{i,p}(u)) 只在有限的参数区间内非零。

这意味着每个控制点只影响曲线的一部分，而不是整条曲线。

这正是 B-Spline 具有局部控制性的根本原因。

4. 总结 #

B-Spline 可以看成是 Bézier 曲线的一种推广。

Bézier 曲线的主要问题是：

控制点数量决定曲线次数；
控制点对整条曲线产生全局影响；
复杂形状容易导致高次曲线；
多段 Bézier 拼接时需要手动处理连续性。

B-Spline 解决这些问题的方式是：

使用低次数的分段多项式；
通过 knot vector 控制参数区间分段；
使用 B-Spline 基函数作为控制点权重；
让控制点数量和曲线次数解耦；
提供局部控制能力；
自动保证曲线段之间的一定连续性。

B-Spline 曲线的定义是：

C(u)=\sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)P_i

其中：

$P_i$ 是控制点；
$N_{i,p}(u)$ 是 B-Spline 基函数；
$p$ 是曲线次数；
$U={u_0,u_1,\ldots,u_m}$ 是节点向量。

并且三者之间满足：

m=n+p+1

或者：

\text{节点数量}=\text{控制点数量}+\text{曲线次数}+1

一句话概括：

B-Spline 是一种通过节点向量和局部基函数，把多个低次数曲线段平滑拼接起来的曲线表示方法。它既能表达复杂形状，又能保持良好的局部控制性。

（完）